Beweisen Sie, dass die Primzahl $p$ kann nur sein $13$ [Duplikat]

Nov 28 2020

Angesichts dessen $p$ ist eine Primzahl, so dass beide $\frac{p-1}{4}$ und $\frac{p+1}{2}$ sind auch Primzahlen. Dann beweisen Sie das $p=13$. Mein Versuch: Lass$p_1,p_2$ Primzahlen sein, dass $$\frac{p-1}{4}=p_1$$ und $$\frac{p+1}{2}=p_2$$ Also bekommen wir, $$p=4p_1+1=2p_2-1$$ Wenn ich jetzt anfange, natürlich Werte zu behalten, bekomme ich $p_1=3,p_2=7,p=13$als die einzigen primären Drillinge. Aber gibt es einen formalen Weg, dies zu beweisen?$13$ ist der einzige Wert von $p$.

Antworten

4 JohnOmielan Nov 28 2020 at 13:18

Du hast

$$\begin{equation}\begin{aligned} 4p_1 + 1 & = 2p_2 - 1 \\ 4p_1 & = 2p_2 - 2 \\ 2p_1 & = p_2 - 1 \\ p_2 & = 2p_1 + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Mit $p_1$Betrachten Sie seine möglichen Werte modulo $3$. Wenn es$p_1 \equiv 1 \pmod{3}$, dann $p_2 \equiv 0 \pmod{3}$, was seitdem nicht erlaubt ist $p_2 \gt 3$. Alternativ, wenn$p_1 \equiv 2 \pmod{3}$, dann $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ damit $p = 2p_2 - 1 \implies p \equiv 0 \pmod{3}$. Der einzige Fall, in dem dies möglich sein könnte, ist wo$p_2 = 2$ geben $p = 3$, aber dann $p = 4p_1 + 1$kann nicht halten. Dies lässt den einzig möglichen Fall, wo$p_1$, $p_2$ und $p$ Sind alle Prime ist wo $p_1 = 3$, was zu Ihrem einen Fall führt, in dem $p = 13$.

2 ParclyTaxel Nov 28 2020 at 13:23

Annehmen $p\equiv1\bmod3$, dann ist es einfach, das zu überprüfen $\frac{p-1}4\equiv0\bmod3$, damit $\frac{p-1}4=3$ und $p=13$.

Annehmen $p\equiv2\bmod3$dann nach ähnlicher Logik $\frac{p+1}2\equiv0\bmod3$ und $p=7$, aber dann $\frac{p-1}4$ ist nicht ganzzahlig.

Schon seit $p>3$ durch $\frac{p-1}4$ Prime sein, $p=13$.

1 labbhattacharjee Nov 28 2020 at 13:43

Deutlich, $(p-1)/4\ne2,(p-1)/4\ge3\iff p\ge13$

Also, wenn $(p-1)/4>3,$

Entweder $(p-1)/4=6k+1,k\ge1$

$(p+1)/2=12k+3=3(4k+1)$

Oder $(p-1)/4=6k-1,k\ge1,p=?$