Beweisen Sie, dass die Produkttopologie in $\Bbb C^n$ ist gleich dem üblichen

Jan 08 2021

So ist es wohl bekannt, dass die Funktion $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ definiert durch die Bedingung

  1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

für jeden $x,y\in\Bbb C^n$ist ein inneres Produkt. Also bitte ich zu beweisen, dass die Produkttopologie eingeschaltet ist$\Bbb C^n$ induziert durch das innere Produkt $\tau_1$ ist gleich der Topologie $\tau _n$wie oben definiert. Ich weise darauf hin, dass ich dieses Ergebnis brauche, um zu zeigen, dass die linearen Funktionen zwischen zwei topologischen Vektorräumen stetig sind, und um zu zeigen, dass alle Topologien in einem endlich dimensionalen topologischen Vektorraum äquivalent sind, und fordere daher höflich auf, nicht das zu geben, was gerade gesagt wurde Antworten. Könnte mir bitte jemand helfen?

Antworten

1 mathcounterexamples.net Jan 08 2021 at 04:16

Die Produkttopologie wird durch die Norm generiert

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ wo $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Bezeichnen

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ wir haben

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ Dies ermöglicht es, auf das gewünschte Ergebnis zu schließen.