Beziehung zwischen $H^1(X, \mathbb{T})$ und komplexe Linienbündel

Question

Lassen $X$ Seien Sie ein kompakter metrischer Raum und betrachten Sie die Garbenkohomologiegruppe $H^1(X, \mathbb{T})$. Aus einer Klasse in$H^1(X, \mathbb{T})$Ich kann einen Schulleiter bekommen $\mathbb{T}$-Bündel vorbei $X$und daraus ein zugehöriges komplexes Linienbündel. Wie ist die Beziehung zwischen Klassen in$H^1(X, \mathbb{T})$und komplexe Linienbündel? Gibt mir eine Klasse das gleiche Linienbündel bis zum Isomorphismus?

Answer 1

Zumindest wenn $X$ Hat der Homotopietyp eines CW-Komplexes, gibt es einen natürlichen Isomorphismus zwischen $H^1(X; \mathbb T)$ und die Gruppe der Isomorphismusklassen von Linienbündeln auf $X$ unter Tensorprodukt.

Die übliche Art und Weise, wie dies formuliert wird, ist, dass die erste Chern-Klasse einen Isomorphismus von der Gruppe der Linienbündel bis definiert $H^2(X;\mathbb Z)$. Zum Beispiel und für einen Beweis siehe Hatcher, "Vektorbündel und$K$-Theorie, Prop. 3.10 (S. 86).

Betrachten Sie nun die kurze genaue Abfolge der Garben

$$0\to \mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z\to 0,$$

wo $\mathbb R$ trägt die kontinuierliche Topologie (dh dies ist das Bündel von kontinuierlichen reellen Funktionen weiter $X$). Wir haben$\mathbb R/\mathbb Z\cong\mathbb T$. Es gibt eine induzierte lange exakte Sequenz in der Kohomologie, aber wie Donu Arapura in einer Antwort auf eine andere MathOverflow-Frage feststellt ,$H^k(X;\mathbb R)$ verschwindet für $k > 0$. Daher vereinfacht sich die lange exakte Reihenfolge zu

$$ 0 \to H^1(X; \mathbb T)\longrightarrow H^2(X; \mathbb Z)\to 0, $$

so $H^1(X;\mathbb T)$ist isomorph zur Gruppe der Linienbündel. Es erfordert etwas mehr Arbeit, um festzustellen, dass der Isomorphismus mit der von Ihnen beschriebenen Karte übereinstimmt (zugehöriges Linienbündel zu einem Prinzipal)$\mathbb T$-bundle), aber das ist auch wahr.

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Nicht alle kompakten metrischen Räume haben den Homotopietyp von CW-Komplexen, wie von Milnor (Ende von Abschnitt 1) ​​angegeben. Ich weiß leider nicht, wie die Antwort auf Ihre Frage für diese Räume lautet.