Beziehung zwischen Projektion von$y$auf zu$x_1, x_2$individuell vs. Projektion auf beide?
Dies ist im Wesentlichen ähnlich der Frage, die ich gerade auf cross validated gestellt habe , aber hier werde ich sie auf lineare algebraische Weise stellen.
In Betracht ziehen$y \in \mathbb{R}^n$und$x_1, x_2, 1_n \in \mathbb{R}^{n}$. Angenommen, Sie projizieren orthogonal$y$auf zu$x_1, 1_n$und finden Sie die Projektion von$y$auf den von aufgespannten Unterraum$x_1, 1_n$kann geschrieben werden als$\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1 + b_1$, dh eine Linearkombination von$x_1$plus etwas Versatz. Machen Sie jetzt dasselbe für die orthogonale Projektion von$y$auf zu$x_2, 1_n$und finde$\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2 + b_2$.
Betrachten Sie nun das Projizieren$y$auf den von beiden aufgespannten Unterraum$x_1, x_2, 1_n$und finde$\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2 + b_{12}$.
Wenn$x_1 \perp x_2$, dann weiß ich es$\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$. Aber was ist, wenn sie nicht orthogonal sind?
Was kann ich über die Beziehung zwischen sagen$\hat{\beta}$und$\hat{\gamma}$in diesem Fall?
Einige spezifische Fragen, die mich auch interessieren, sind if$\hat{\beta} >0 $, impliziert dies$\hat{\gamma} > 0$? Wenn$x_1, x_2$linear abhängig sind, dann glaube ich nicht, dass dies für einen der Koeffizienten nicht gilt.
Antworten
Ich kann nicht sagen, dass ich diese Konstanten vollständig verstanden habe$b_1$,$b_2$oder$b_{12}$sind für. Aber ich habe den Kern Ihrer Frage verstanden und werde mein Bestes geben.
Sprich die Orthogonalprojektion von$y$auf den von aufgespannten Unterraum$x_1$kann geschrieben werden als$\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1$, dh eine Linearkombination von$x_1$. Jetzt machen wir dasselbe für die orthogonale Projektion von$y$auf zu$x_2$und finde$\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2$.
Auch haben wir die Projektion von$y$auf den von beiden aufgespannten Unterraum$x_1, x_2$und finde$\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2$.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir die Vektoren sagen$x_1$und$x_2$sind Einheitsvektoren und stellen sie dar durch$\hat{x_1}$und$\hat{x_2}$. Wenn Sie das nicht wollen, dann schreiben Sie alle Vektoren in Terme in Terme um$\hat{x_1}$und$\hat{x_2}$. Also zum Beispiel$\hat{\beta_1}$wird werden$\hat{\beta_1} ||x_1||$
Betrachten Sie nun diese Aussage. Die Orthogonalprojektion von$\hat{y_{12}}$auf zu$x_1$wäre dasselbe wie$\hat{y_1}$und die orthogonale Projektion von$\hat{y_{12}}$auf zu$x_2$wäre dasselbe wie$\hat{y_2}$.
Also, nach der Definition von Projektion,
$$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_1}|| $$
$$ \implies (\hat{\gamma}_1 \hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}).\hat{x_1} = ||\hat{y_1}||$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1 \tag{1}$$
Ebenso können wir lösen$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_2}|| $bekommen
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_2} + \hat{\gamma}_2 = \hat{\beta}_2 \tag{2}$$
Los geht's. Wir haben 2 Gleichungen und 2 Unbekannte.
Offensichtlich sollten wir den Wert kennen$\hat{x_1}.\hat{x_2}$, also der Kosinus des Winkels zwischen ihnen, um die erforderlichen Beziehungen zu erhalten. In dem Fall wo$\hat{x_1}$und$\hat{x_2}$sind orthogonal,$cos \frac{\pi}{2}=0$und daher das Ergebnis, das Sie angegeben haben$\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$.