Das Gebiet eines Kreises

Es ist bekannt, dass die Fläche eines Kreises πr² ist. Es gab einige Methoden, um diese Idee zu beweisen. Lassen Sie mich Ihnen eine andere Denkweise über Kreise vorstellen.

Das obige Bild zeigt ein 30-seitiges regelmäßiges Polygon. Sieht es nicht fast aus wie ein Kreis?

Dies ist die Eigenschaft, die wir ausnutzen werden, um die Fläche eines Kreises herauszufinden. Aber bevor wir dazu kommen, ist es wichtig, dass wir einige Ideen festigen, indem wir eine Werkzeugkiste erstellen.

Werkzeugkasten:

• Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks = (1/2)*(a²sinθ)
• lim (sünde x)/x (x → 0) = 1
• 180° = π Bogenmaß

wobei ,
n — Anzahl der Seiten
a — Länge der beiden gleichen Seiten des Dreiecks
θ — Winkel zwischen den beiden gleichen Seiten des Dreiecks
A — Fläche des n-seitigen regelmäßigen Vielecks

Ein wichtiger Punkt ist, dass 'θ' auch als 360°/n geschrieben werden kann. Überlegen Sie, warum es wahr ist. Auch für einen Kreis wird ' a' der Radius genannt.

Weiter, was passiert, wenn n gegen ∞ geht? Lass uns sehen:

Der obige Ausdruck kann durch Multiplizieren und Dividieren mit (360/n) ein wenig modifiziert werden. Es reduziert sich auf die Form von lim (sin x)/x (x → 0) = 1 aus unserer Werkzeugkiste.

Nach Streichung von n im Zähler und Nenner bleibt schließlich:

Aber 180° = π Bogenmaß aus unserer Werkzeugkiste. Damit ist die Fläche des Kreises:

Dieser Beweis wirft eine neue Frage in unseren Köpfen auf: Können wir mit der gleichen Methode beweisen, dass der Umfang eines Kreises 2πr ist?
Versuchen Sie darüber nachzudenken, ob es möglich ist oder nicht und warum.