Demonstration der Unmöglichkeit, eine Parallele nur mit einem Lineal durch einen Punkt zu ziehen.

Question

Aus den Antworten auf diese Frage geht wohl hervor, dass es unmöglich ist, eine Parallele zu einer geraden Linie zu verfolgen:$\ell$ durch einen Punkt: $P$ausschließlich mit einem Lineal.

Können Sie eine solche Tatsache demonstrieren?

Answer 1

Eine Konstruktion, die nur ein Lineal verwendet, kann über eine projektive Transformation (auch Homographie genannt) transformiert werden .

Angenommen, Sie hätten eine Linealkonstruktion für eine Linie $m$ durch Punkt $P$ parallel zur Linie $\ell$. Angenommen, eine projektive Transformationskarte$P\rightarrow P'$ und $\ell\rightarrow \ell'$. Dann würde dieselbe Konstruktion eine Linie erzeugen$m'$ was im Allgemeinen nicht parallel zu ist $\ell'$. Wir haben also einen Widerspruch, und es gibt keine solche Linealkonstruktion.

Die Demonstration ist etwas überzeugender, wenn die projektive Transformation abläuft $P$ und $\ell$invariant. In diesem Fall würde dieselbe Konstruktion zwei verschiedene Linien erzeugen, wenn sie vor und nach dem gleichen Punkt und der gleichen Linie angewendet wird.