Die linken Nebenmengen von $H$ im $G$ Partition $G$

Jan 06 2021

Lassen $G$ eine Gruppe sein und $H$eine Untergruppe. Dann die linken Nebenmengen von$H$ im $G$ Partition $G$. Speziell,$(1)$ jeder $a$ ∈ G befindet sich in genau einem linken Coset, nämlich $aH$, und $(2)$ wenn $a, b \in G$dann auch nicht $aH = bH$ oder $aH \cap bH = \emptyset $.

Das Teil $(2)$fertig. Mein Problem ist teilweise$(1)$Ich habe es versucht, bin mir aber nicht sicher:

Lassen $a\in G$, wir haben das $e\in H$, so $a\in aH$, schon seit $a=ae$. Dies zeigt, dass$a$ liegt nämlich in einem linken Coset $aH$.

Nun wenn $a\in aH$ und $a\in bH$, wir haben das $a=ae=abh$, so $bh=e$ und somit $a$ liegt in genau einem linken Coset.

Habe ich recht?

Antworten

2 SaikaiPrime Jan 06 2021 at 07:12

Angenommen, Sie haben bewiesen (2), gehe ich weiter:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Zum $a,b \in G$ Beweise das $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Zum $a,b \in G$ Beweise das $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Schon seit $e \in H, a=ae \in aH$. Lassen$a \in bH$. Dann$aH=bH$. So$a$ gehört zu genau einem linken Coset.