Ein hartes Geometrieproblem mit harmonischen Teilungen

Question

Lassen Sie das spitze Dreieck $ABC$. Lassen$A_1$ und $A_2$ die Schnittpunkte des Kreises des Durchmessers $(BC)$ und die Höhe von $A$ zu $BC$ ($A_1$ ist näher an $A$ als $A_2$). Definieren Sie ähnlich Punkte$B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$. Lassen$A'$ der Schnittpunkt von $B_1C_2$ und $B_2C_1$. Definieren Sie ähnlich Punkte$B'$ und $C'$. Beweise das$AA'$, $BB'$ und $CC'$ stimme zu.

Meine Idee: Vielleicht hilft es, das zu sehen $(A,H;A_1,A_2)$ (wo $H$ ist das Orthozentrum des Dreiecks $ABC$) ist eine harmonische Teilung. Ebenfalls$H$ ist das radikale Zentrum der 3 gezeichneten Kreise, also $B_1C_1B_2C_2$ist zylkisch (durch die Kraft eines Punktes). Aus der Figur geht hervor, dass$A'$ muss liegen $BC$. Aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll. Kannst du mir bitte helfen? Danke im Voraus!

Wenn es hilft, kommt das Problem aus einem rumänischen Buch über harmonische Teilungen, aber die Lösung wird weggelassen.

Answer 1

Wir lösen das Problem mit trilinearen Koordinaten. Die Höhe$AD$ ist die Menge von Punkten, deren Koordinaten $x:y:z$ erfüllen $$y\cos B=z\cos C$$ Der Kreis mit dem Durchmesser $BC$ wird analog definiert, wobei die Punkte zufriedenstellend sind $$yz=x(x\cos A-y\cos B-z\cos C)$$ (Sehen https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo.31924059323034&view=1up&seq=344 als Referenz.) Beliebige Einstellung $x=1$ (da trilineare Koordinaten Verhältnisse sind) und dann auflösen nach $y,z$ gibt uns die Koordinaten von $A_1$ und $A_2$:: $$A_{1,2}=1: -\cos C\pm\sqrt{\frac{\cos C}{\cos B}(\cos A+\cos B\cos C)}: -\cos B\pm\sqrt{\frac{\cos B}{\cos C}(\cos A+\cos B\cos C)}$$ Das Pluszeichen gibt $A_1$ und das Minuszeichen gibt $A_2$;; $B_1,B_2,C_1,C_2$ kann durch zyklisches Permutieren erhalten werden $A,B,C$ in der obigen Gleichung.

Verknüpfen Sie nun den Vektor $(u,v,w)^T$mit beiden den Punkt an den Koordinaten$u:v:w$und die Linie $ux+vy+wz=0$. Es ist bekannt, dass die Linie durch Punkte führt$P_1$ und $P_2$ ist $(\mathbf P_1×\mathbf P_2)\cdot(x,y,z)^T=0$ und dass der Schnittpunkt von Linien $l_1$ und $l_2$ ist $\mathbf l_1×\mathbf l_2$. Basierend darauf der Schnittpunkt der Linien$B_1C_2$ und $C_1B_2$ ist $$A'=(\mathbf B_1×\mathbf C_2)×(\mathbf C_1×\mathbf B_2)$$ $$=0:(\cos A\cos C+\cos B)\sqrt{\cos C(\cos A\cos B+\cos C)}:(\cos A\cos B+\cos C)\sqrt{\cos B(\cos A\cos C+\cos B)}$$ So $A'$ liegt auf $BC$wie du vermutet hast. Die Linie$AA'$ hat dann normalen Vektor $\mathbf l_A=\mathbf A'×(1,0,0)^T$und ähnlich für $\mathbf l_B=BB'$ und $\mathbf l_C=CC'$ durch zyklisches Permutieren $A,B,C$;; Die Determinante der durch diese drei Vektoren gebildeten Matrix ist $$\begin{vmatrix}\mathbf l_A&\mathbf l_B&\mathbf l_C\end{vmatrix}=0$$ Daher die Zeilen $AA',BB',CC'$ stimmen, wie gezeigt werden musste, an dem Punkt mit trilinearen Koordinaten überein $$X=\sqrt{1+\frac{\cos B\cos C}{\cos A}}:\sqrt{1+\frac{\cos C\cos A}{\cos B}}:\sqrt{1+\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}$$ $$=\frac1{a\sqrt{b^2+c^2-a^2}}:\frac1{b\sqrt{c^2+a^2-b^2}}:\frac1{c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}$$ $$=\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$$

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Hier ist der SymPy-Code, mit dem ich alle obigen Ausdrücke abgeleitet habe:

#!/usr/bin/env python3
from sympy import *
cA, cB, cC = symbols('cA cB cC', positive=True) # cos A, cos B, cos C
x, y, z = symbols('x y z', real=True)

def cycB(p): # ABC -> BCA
    q = p.subs({cA: cB, cB: cC, cC: cA}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[2], q[0], q[1]])
def cycC(p): # ABC -> CAB
    q = p.subs({cA: cC, cB: cA, cC: cB}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[1], q[2], q[0]])

f1 = y*cB - z*cC
f2 = cA - y*cB - z*cC - y*z
sols = solve([f1, f2], [y, z])
A1 = Matrix([1, sols[1][0].expand(), sols[1][1].expand()])
A2 = Matrix([1, sols[0][0].expand(), sols[0][1].expand()])
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
B1 = cycB(A1)
B2 = cycB(A2)
C1 = cycC(A1)
C2 = cycC(A2)
Ap = simplify(  B1.cross(C2).cross(B2.cross(C1))  ) # A'
Ap *= sqrt(cA*cB*cC)/2
print("A' =", Ap)
lA = Ap.cross(Matrix([1, 0, 0]))
lB = cycB(lA)
lC = cycC(lA)
D = Matrix([lA.T, lB.T, lC.T])
pprint(D)
print("det(D) =", D.det()) # 0

X = D.nullspace()[0] * sqrt(cA*cB + cC) / sqrt(cC)
a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
X = X.subs(cA, (b**2+c**2-a**2)/(2*b*c))
X = X.subs(cB, (c**2+a**2-b**2)/(2*c*a))
X = X.subs(cC, (a**2+b**2-c**2)/(2*a*b))
Delta = sqrt(-(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c))*sqrt(a + b + c)/sqrt(2) # area of triangle
X = factor(X, deep=True) / Delta
print("X =", X.simplify())