Ein Polygon ohne Dreiecke verspannen
Das folgende Laman-Diagramm klammert ein Quadrat ohne Dreiecke ein. Anders ausgedrückt ist dies ein starrer Graph mit Einheitsabstand ohne 3 Zyklen. Es scheint das kleinste Beispiel für ein dreieckfreies Polygon zu sein . Dies ist zufällig ein Untergraph des Würfelgraphen der Einheitssticks .
Welche anderen regulären Polygone haben dreieckfreie starre Konstruktionen?
Antworten
Jedes starre Gerüst, also alle regulären Polygone, kann in ein dreieckfreies Äquivalent umgewandelt werden. Einfach Kopien der$12$-vertex dreieckfreies, verspanntes Quadrat in der Frage (die ich entdeckt habe) entlang der beiden kollinearen Kanten ergibt ein starres Liniensegment beliebiger ganzzahliger Länge ohne Dreiecke:
Dann kann jedes dreieckige Gitter wie folgt ohne Dreiecke nachgeahmt werden (alle geraden Fuchsia-Kanten werden mit der obigen Grafikkettenkonstruktion hergestellt, alle schwarzen Kanten sind einzelne Sticks):
Zum Beispiel, um das Sechseck ohne Dreiecke zu verspannen:
Die obige Sechskantverstrebung ist jedoch ziemlich groß. Ein weiterer Ansatz zur dreieckfreien Verspannung ist die virtuelle Kante : Bei jeder Einbettung des kubischen Graphen mit einer entfernten Kante wird der Abstand zwischen den beiden Grad-$2$ Eckpunkte (die auf die fehlende Kante fallen) müssen immer sein $1$. Dies führt zu dem folgenden dreieckfreien starren regelmäßigen Sechseck in$16$ Eckpunkte und $29$Kanten ( Shibuya begehen Beweise ):
Die beiden oben gezeigten Versionen sind graphentheoretisch isomorph; Ihre Koordinaten haben die gleichen minimalen Polynome. Insbesondere unter Verwendung der Parametrisierung in Shibuya, der$x$-Koordinate des Scheitelpunkts $7$ befriedigt $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( Vielen Dank an Hulpke, dass er mich auf die GAP-Funktion hingewiesen hat, mit der DecomPolyich das erste Polynom erhalten konnte.) Die schwachen Linien in der zweiten Version zeigen, dass der starre Graph mit der Reihenfolge zusammenhängt.$4$ Hypercube-Diagramm.
Als Ergänzung zu Parcly Taxels Antwort sind seine Sechskantverstrebungen eine Teilmenge einer ganzen 2DOF-Familie von Sechskantverstrebungen. Hier sind zwei besonders symmetrische Mitglieder dieser Familie. (Die gepunkteten Linien zeigen Einheitentrennungen an, die nicht als Kanten enthalten sind.)
