Eindeutigkeit einer Funktionsgleichung?

Question

TL; DR. Ich versuche zu verstehen, warum der Parameter$\beta$ im Gibbs-Maß ist die Umkehrung der Temperatur $1/T$ im thermodynamischen Kontext.

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Im Raum der glatten Bijektionen (Diffeomorphismen) aus $(0,\infty)$ zu $(0,\infty)$, die Funktion

$$ x \mapsto \frac{1}{x}$$

erfüllt die Funktionsgleichung

$$ \frac{\phi(x) + \phi(y)}{2} = \phi(\frac{2xy}{x+y}).$$

Tatsächlich,

$$ \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} = \frac{x+y}{2xy}.$$

Frage

Ist das die einzige Lösung?

Versuche und Motivation

Ich habe einige Techniken angewendet, z. B. Grenzen untersuchen, spezielle Werte finden oder differenzieren $x\phi(x)$.. etc. Diese Frage stammt aus der statistischen Mechanik. Es wird mir helfen zu verstehen, nachdem ich akzeptiert habe, dass das Gibbs-Maß

$$ \mu(s) \sim exp(-\beta s) $$

ist natürlich, warum der Parameter $\beta$ Die nach der Lagrange-Multiplikatormethode eingeführte Methode entspricht natürlich der Umkehrung der Temperatur $\frac{1}{T}$ im thermodynamischen Kontext.

Answer 1

Hinweise zum Finden $\phi$: Differenzieren Sie wrt $x$ zu bekommen $\frac 1 2 \phi'(x)=\phi '(\frac {2xy} {x+y}) \frac {2y^{2}} {(x+y)^{2}}$. Nun setzen Sie$x=1$ zu bekommen $ \phi '(\frac {2y} {1+y})$. Stellen$t=\frac {2y} {1+y}$ und du wirst bekommen $\phi'(t)$ für jeden $t \in (0,1)$.

Behandlung $\phi'(1)$ als eine gegebene Konstante $c$, dann wirst du haben

$$t^2 \phi'(t) = c.$$

Mit dem Mittelwertsatz, $\phi(t) = c/t$ sind die einzigen Lösungen.