Eine einfache, aber knifflige Binomialfrage [Duplikat]
Wie viele unterschiedliche Begriffe gibt es bei der Erweiterung von $(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$?
Ich weiß, wie man solche Probleme löst.
Zuerst würde ich den Begriff in einen Binomialausdruck einordnen. Die Erweiterung wird haben$(n+1)$ unterschiedliche Begriffe.
Aber wie kann ich es zu einem Binomialausdruck anordnen?
Antworten
Hinweis :
$$x+\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$$
$$\therefore \Big(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\Big)^{15} = (t^2+t-2)^{15} $$
Betrachten Sie nun den wertvollen Rat von @ lulu: "Was ist der Term mit dem höchsten Grad? Was ist der niedrigste? Haben alle Zwischenterme Koeffizienten ungleich Null?"
So würde ich mit der Frage vorgehen:
$(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1+x+x^3+x^4}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})(1+x+x^3+x^4)^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})$(1 + ....... + x ^ 60)
Dieser Ausdruck hat 61 verschiedene Kräfte. Die Antwort sollte also 61 sein. Ich hoffe, es hilft!