Eine Situation zum Vergleichen der Zeit, die zwei Objekte benötigen

Question

Dies kam mir zufällig in den Sinn.

Angenommen, ein perlenartiges Teilchen P bei A in einer reibungsfreien halbkugelförmigen Schale. Es wird von A bei t = 0 freigesetzt. Eine horizontale Geschwindigkeit v wird dem Kügelchen P verliehen. Ein Kügelchen Q mit der gleichen Masse wie P wird gleichzeitig von A entlang der horizontalen Kette AB mit der Geschwindigkeit v ausgestoßen. Reibung zwischen Die Perle und die Schnur können vernachlässigt werden. Welche Perle erreicht Punkt B früher?

Vernachlässigen Sie bitte die Formverzerrung, sie sind perfekte Punktpartikel

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Für ein Teilchen, das sich entlang der Schnur bewegt

$T=2R/v$

Partikel entlang der sphärischen Oberfläche haben es mir schwer gemacht und ich habe das Gefühl, dass sie eine Kreisbewegung durchlaufen, sodass die Zeit die Hälfte ihrer vertikalen Zeitspanne beträgt, aber ich kann die Zeitspanne eines vertikalen Kreises nicht berechnen.

Gibt es dafür einen intuitiven Ansatz?

Answer 1

Die Idee ist, dass das sich horizontal bewegende Teilchen keine zusätzlichen Kräfte auf es ausübt, während das Teilchen, das die Rampe hinunter rollt, die "Normalkraft" hat, die es beschleunigt, während es sich bis zum Boden bewegt, und dann die Normalkraft es "verlangsamt", wenn es wieder aufsteigt.

Der Grund dafür ist, dass die Normalkraft beim Tragen ihres Gewichts auch eine horizontale Kraftkomponente parallel zur Oberfläche ergibt, um das Objekt (*) zu drücken. Die Sache ist also, dass, obwohl die Geschwindigkeit am Ende und am Startpunkt für beide gleich ist, das Partikel, das die Rampe hinunter rollt, "schneller" in den Endpunkt gedrückt wurde.

Um die Zeit der Bewegung des Teilchens herauszufinden, mag es etwas komplex sein, aber ich selbst habe es versucht und es stellt sich als komplexe Mathematik heraus (siehe hier).

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*: Überlegen Sie, warum sich Objekte über Rampen bewegen. Deshalb brauchen wir auch Reibungen, um zu verhindern, dass Dinge über Rampen rutschen

In Kommentaren von OP verweise ich auf diese anderen Antworten, in denen diskutiert wird, wie 'Zwangskräfte' das Objekt beschleunigen, während keine Arbeit erledigt wird

Sehen Sie hier und hier