Elementares Beispiel für die unbestimmte Form $1^\infty$
Ich spreche Mathe mit einem klugen Mittelschüler, der im Unterricht noch nicht einmal Logarithmen gesehen hat. (Wir haben erfolgreich Protokolle als Umkehrung der Potenzierung eingeführt.) Sie ist fasziniert von diesem Video und unbestimmten Formen. Wir haben diskutiert, wie "$1^\infty$"ist wirklich das gleiche wie"$0/0$".
Ich möchte jetzt ein Beispiel für "$1^\infty$". Leider nutzt jedes Beispiel, das ich finden kann, und alles, was ich im Internet finde, das$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ wie $t\to 0$, was entweder " eine bekannte Tatsache " ist oder eine Anwendung der Regel von L'Hospital - beides finde ich unbefriedigend.
Gibt es ein nicht triviales Beispiel für die "$1^\infty$"unbestimmte Form (also nicht nur $1^t$ zum $t\to\infty$) das nur mit der Definition des Logarithmus als Umkehrfunktion zur Potenzierung analysiert werden kann, ohne Kalkül oder Fakten, die ich aus dem Hut ziehen müsste?
Antworten
Wer kann das klassische Beispiel vergessen:
$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?
Wenn wir expandieren $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ mit dem Binomialsatz und vergleiche Begriffe mit entsprechenden Potenzen von $1/n$ für verschiedene Werte von $n$finden wir, dass diese Funktion zunimmt als $n$ nimmt ungebunden zu, aber die Funktion ist durch die konvergente Reihe begrenzt
$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$
Das Limit ist also garantiert vorhanden und somit definierbar als $e$, von denen die Regel $[\ln(1+x)]/x\to1$ wie $x\to 0$ folgt.
Warum nicht einfach reparieren $k>0$ (z.B $k=2$) und schau dir an $(k^{1/n})^n$?
Das ist intuitiv ziemlich klar $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ wie $n\to\infty$;; auf der anderen Seite klar$n\to\infty$ wann $n\to\infty$. Damit haben Sie den Fall$1^\infty$ was tatsächlich konvergiert $k$ (und konvergiert nicht nur zu $k$aber ist konstant ), die Sie zunächst willkürlich gewählt haben.
Nun ist dies einfach zu erweitern $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ oder $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, die zu konvergieren $0$ und $\infty$ (in irgendeiner Reihenfolge, solange $k\ne 1$).
Wir suchen $f,\,g$ mit $f\to1,\,g\to\infty$sagen wir als $x\to0$, so dass $f^g$ kann einfach jede Grenze haben $L\in[0,\,\infty]$oder keine. Beispiele:
- $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ zum $L>1$
- $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ zum $L\in(0,\,1)$
- $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ zum $L=1$
- $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ zum $L=0$
- $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ zum $L=\infty$
- $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ zum $\lim_{x\to0}f^g$ undefiniert sein.
Der Ersatz $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ zeigt an $1^{-\infty}$ funktioniert genauso, aber niemand listet das separat auf.