Erhalten Sie die Summe einer Sequenz aus der Summe ihrer ungeraden Terme.
Ich möchte die Summe berechnen $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ unter Verwendung der Fourier-Reihe von $f(x)=|x|$ Über $(-\pi,\pi)$. Koeffizienten$b_k$ sind alle $0$ weil $f$ist gerade. Bei der Integration erhielt ich:$$ a_0 = \pi $$ und $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ zum $k>0$. Die Gleichheit des Parseval gibt:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ was gibt $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ was vereinfacht zu $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ was im Grunde sagt: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ Irgendeine Idee, wie man die Summe von dort erhält?
Antworten
Beobachten Sie, dass das, was Sie haben, das ist $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Berufung$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ du hast das $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ und endlich hast du $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ aus denen $S=\frac {\pi^4}{90}$
Sie haben im Wesentlichen
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$
Du willst finden
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$
Mit anderen Worten, Sie möchten hinzufügen
$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$
Ausklammern a ${\frac{1}{2^4}}$ auf die oben genannten Ausbeuten
$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$
Also insgesamt, wenn Sie anrufen ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ du hast
$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$
$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$
Können Sie jetzt für neu ordnen ${S}$?