Exponential des Zahlenoperators und der Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren entwirren
Gibt es eine Möglichkeit, das Exponential der Summe aus Zahl, Vernichtung und Erstellungsoperator zu entwirren? Beispielsweise,
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
wo $G$, $A$, und $B$ sind jeweils Funktionen von möglicherweise allen drei Parametern $\alpha$, $\beta$, und $\gamma$.
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Keine Antwort, sondern ein erweiterter Kommentar zu Ihrem grundsätzlich soliden Ansatz, da das Kommentarformat solche erweiterten Kommentare nicht zulässt. Die betroffene Gruppe ist die Oszillatorgruppe , und die 3D-Wiederholung, die Sie gefunden haben, ist eine getreue, daher gilt jede Gruppenbeziehung dafür auch für die abstrakte Gruppe im Allgemeinen, also alle Darstellungen ! Ich werde Ihr zentrales Element C Ihrer Antwort Z nennen , und es kann aus allen Ausdrücken herausfiltern und mit allem pendeln.
Die generische Aussage, die vom Satz von Lie unterstützt wird, ist, dass das Produkt aller Gruppenelemente nahe an einem Exponential einer linearen Kombination aller Generatoren in der Lie-Algebra liegt.$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$Da Z jedoch mit allem pendelt, können wir den ersten Faktor der lhs nach rechts invertieren und in einen neuen Parameter integrieren$\phi'-\theta=\phi$, so dass $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ wo die Parameter $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ sind garantiert Funktionen von $G,A,B$.
Nun, durch die Nullpotenz der ersten drei Generatoren und die Diagonale des vierten, bewertet die Seite trivial zu $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ mit Determinante $e^{A/2}$.
Das muss gleich sein $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ Seine Determinante ist $e^{\alpha/2}$ durch die Identität $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.
Nun wird es in seinen Parametern auf die zweite Ordnung erweitert $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
Der Vergleich mit dem obigen lhside diktiert zur zweiten Ordnung, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ Aber dann stellen Sie fest, dass der Eintrag ganz rechts nicht übereinstimmt und ein Nicht-Verschwinden erfordert $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$den Durchhang aufheben. Man musste zur zweiten Ordnung gehen, um dies zu sehen, da man mindestens eine Kommutierung benötigt$[a,a^\dagger]$ das zentrale Element zu produzieren.
Also dann, $\phi$ist in Ihrem geänderten Ausdruck (*) tatsächlich von wesentlicher Bedeutung: Dies ist kein Freiheitsgrad, der weggelassen werden könnte. Entschuldigung (mit Pascal) für den Mangel an Zeit, um den Kommentar zu verkürzen.
Ich glaube, ich habe eine Methode gefunden, die die Antworten auf diese beiden Fragen verwendet:
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
Wie funktioniert das Entwirren und Neuordnen von Exponentialoperatoren?
Wir können den Leiteroperatoren die folgenden Matrizen zuordnen:
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
Die Matrizen A, B, C, D erfüllen die Kommutierungsrelationen der Leiteroperatoren. Bewerten Sie dann die linke und rechte Seite anhand dieser Matrizen und Übereinstimmungskoeffizienten. Es scheint zu funktionieren, aber ich möchte eine Bestätigung, dass dies der richtige Ansatz ist, da ich keine Erfahrung mit Lügenalgebren habe.