Feigenbaum-Konstante

Mein letzter Artikel war eine sehr kurze Einführung in die Chaostheorie , in der ich hauptsächlich über den Schmetterlingseffekt geschrieben habe , also das Konzept, mit dem die Chaostheorie begann. Ich hatte zuvor in einem meiner Artikel über das Bevölkerungsdiagramm gesprochen . Ich habe den Graphen als ein Fraktal beschrieben, das „der Feigenbaum“ genannt wird. Ich hatte auch erwähnt, dass Fraktale ein Teil der Chaostheorie sind. Also, wie formt das Chaos schließlich diesen Graphen?

Es gibt eine wirklich berühmte Konstante, die zusammen mit anderen berühmten mathematischen Konstanten wie π, sqrt{2}, e, i usw. erwähnt wird. Ich persönlich hatte bis vor kurzem noch nie davon gehört. Diese Konstante wird „ Feigenbaum-Konstante “ genannt, ihr Wert ist δ = 4,6692016……., was bedeutet, dass sie irrational ist wie π oder e. Es gibt zwei Feigenbaum-Konstanten. Der andere Name wird als α symbolisiert, aber das ist eine andere ganze Geschichte, über die ich in diesem Artikel nicht sprechen werde.

Um die 1970er Jahre schrieb ein Wissenschaftler namens Robert May eine Abhandlung, in der er eine Gleichung aufstellte, die das Bevölkerungswachstum modelliert. Die Gleichung lautet wie folgt:

Dabei ist x_(n+1) die Bevölkerung im nächsten Jahr, x_n die aktuelle Bevölkerung und λ die Fruchtbarkeit. Diese Gleichung ist eine logistische Karte oder einfach eine Funktion für das Bevölkerungswachstum. Mit dieser Gleichung können wir also im Grunde vorhersagen, wie hoch die Bevölkerungszahl einer Gemeinde im nächsten Jahr sein wird. Ich sagte, dass λ wie die Fruchtbarkeit der Bevölkerung ist. Also, wenn der Wert hoch ist, gibt es eine hohe Zucht, aber wenn er niedrig ist, dann gibt es eine niedrige Zucht. Der Wert von λ liegt zwischen 0 und 1, wobei 0 keine Fortpflanzung und 1 vollständige Fortpflanzung bedeutet.

Nun haben die am Bevölkerungswachstum interessierten Wissenschaftler diese Grafik iteriert, um die Variation der Bevölkerung in der Zukunft zu beobachten. Auf der rechten oder rechten Seite der gegebenen Gleichung ist x_n das Leben, während (1 — x_n) der Tod ist.

Okay. Nehmen wir nun einen beliebigen Wert für x_1. Lassen Sie es 0,5 sein, das heißt, lassen Sie die Population halbieren. Ich nehme den Wert von λ als 2,3.

Wenn wir also die Bevölkerung der folgenden Jahre mit der Gleichung berechnen, werden x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11 sein

0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652.

Sie können beobachten, dass der Wert konstant geworden ist. Das Bevölkerungswachstum hat sich also stabilisiert. Dies wird als Fixpunkt in der Iteration bezeichnet.

Was passiert, wenn wir λ ändern. Wählen wir ein sehr kleines λ, irgendwo zwischen 0 und 1. Sagen wir 0,65. Intuitiv ist es offensichtlich, was passiert, wenn die Fruchtbarkeit sehr niedrig ist. Aber lassen Sie uns trotzdem berechnen, dass x_1 als 0,5 beibehalten wird. Als ich x_2, x_3, x_4….. berechnet habe, sind die folgenden Werte die ich berechnet habe.

0.0009

Die Bevölkerung ist tot.

Was würde passieren, wenn ich einen höheren Fruchtbarkeitswert nehme, sagen wir 3,2?

Ich habe es erneut mit x_1 als 0,5 berechnet, nach vielen Iterationen bemerkte ich, dass die Werte weitergingen als,

0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, ….. Die Population ist stabil, aber stabil bei 2 Werten.

Jetzt nehme ich einen sorgfältig ausgewählten Wert von λ, nämlich 3,5.

Mit x_1 als 0,5 stellte ich beim erneuten Durchlaufen der Berechnungen fest, dass die Werte nach vielen Iterationen wie folgt weitergingen:

0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,38281

Diesmal ist der Wert stabil bei 4 Werten.

Lassen Sie uns nun Diagramme aus allen Fällen erstellen, die wir gesehen haben.

a) Als die Population stabil wurde

b) Als die Bevölkerung starb

c) Wenn die Population zwischen zwei Werten hin und her springt

d) Als die Population zwischen vier Werten schwankte

Jetzt zeichnen wir mit den Ergebnissen, die wir haben, ein Diagramm mit λ auf der x-Achse und der Population auf der y-Achse. Folgendes würden Sie erhalten:

Bei λ = 3,2 hatten wir zwei iterative Werte. Sie würden also bemerken, dass sich der Graph dort gabelt. "Bifurcate" ist nur eine raffinierte Art zu sagen, dass sich der Graph verzweigt. In ähnlicher Weise gabelt es sich bei etwa 3,5 wieder in vier. Dies geht weiter, aber mit einer viel schnelleren Geschwindigkeit. Der Graph würde sich jetzt noch schneller bei sehr kleinen Änderungen von λ selbst verzweigen. Nach einer Weile zeigt die Grafik etwas Außergewöhnliches, wenn wir weiter nach rechts gehen. Aber lassen Sie mich vorher definieren, womit ich diesen Artikel begonnen hatte, die Feigenbaum-Konstante.

Wie im obigen Diagramm gezeigt, erhalten Sie einen konstanten irrationalen Wert, 4,6692016 ……, wenn ich zwei beliebige aufeinanderfolgende Längen jeder Gabelung des Diagramms nehme und ihr Verhältnis finde.

Dies ist die Feigenbaum-Konstante. Es heißt, die Länge einer Gabelung ist 4,6692016……. mal kleiner als die vorherige. Feigenbaum fand heraus, dass man mit einer beliebigen quadratischen Gleichung wie der Bevölkerungsgleichung ein Periodenverdopplungsdiagramm erstellen kann, indem man einfach mit den Parametern herumspielt. Und wenn man das Verhältnis der Längen zweier aufeinanderfolgender Verzweigungen nimmt, erhält man für jede quadratische Gleichung dieselbe Zahl.

Das Folgende ist das Schicksal des Graphen nach etwa λ = 3,59.

Der Graph wird verrückt oder vielmehr chaotisch. Obwohl dieser Graph entdeckt wurde, bevor die Chaostheorie überhaupt bekannt war. Diese Konstante und dieser Graph wurden daher während ihres Studiums häufig verwendet. Chaos reagiert empfindlich auf Anfangsbedingungen, die massive Veränderungen hervorrufen, wie durch den Schmetterlingseffekt erklärt wird. In ähnlicher Weise kann hier eine sehr kleine Änderung von λ verrückte Änderungen im Diagramm verursachen. Zusammen mit dem Schmetterlingseffekt war dies der Beginn der Chaostheorie.