Feste Räume sind lokal kontrahierbar

Question

Ich habe eine Frage beim Lesen von Steenrods The Topology of Fibre Bundles , Abschnitt 12.

Ein Leerzeichen $Y$heißt fest, wenn für jeden normalen Raum$X$, geschlossene Teilmenge $A$ von $X$und Karte $f:A\to Y$gibt es eine Karte $f':X\to Y$ so dass $f'|_A=f$.

Lassen $Y$ sei solide, so dass $Y\times I$ist normal. Fixiere einen Punkt$y_0\in Y$. Beachten Sie, dass$A:=(Y\times 0)\cup (y_0\times I)\cup (Y\times I)$ ist eine geschlossene Teilmenge von $Y\times I$. Definieren$f:A\to Y$ durch $f(y,0)=y$, $f(y,1)=y_0$ und $f(y_0,t)=y_0$. Dann Solidität von$Y$ impliziert, dass $f$ erstreckt sich auf $f':Y\times I\to Y$. Jetzt$f'$ ist eine Homotopie von $\textrm{id}_Y$ zur konstanten Karte $Y\to y_0$. So$Y$ist vertraglich. Schon seit$y_0$ ist willkürlich, daraus folgt auch $Y$ ist vor Ort vertraglich vereinbar.

Ich kann nicht verstehen warum $Y$ist vor Ort vertraglich vereinbar. Wie zeigt dieses Argument, dass jeder Punkt von$Y$ haben willkürlich kleine lokal vertraglich vereinbarte Nachbarschaften?

Answer 1

Eine häufigere Notation für einen festen Raum ist "absoluter Extensor für normale Räume".

Ihre Konstruktion von $f'$ zeigt, dass $(Y,y_0)$ist spitz vertraglich für jeden$y_0 \in Y$. Dies impliziert sofort, dass

Für jede offene Nachbarschaft $U$ von $y_0$ im $Y$ Es gibt eine offene Nachbarschaft $V$ von $y_0$ im $Y$ Enthalten in $U% $ so dass die Aufnahme $V \hookrightarrow U$ ist null-homotopisch.

Wenn diese Eigenschaft erfüllt ist, $Y$heißt lokal vertraglich vertretbar bei$y_0$. Wenn$Y$ist an allen Punkten lokal vertraglich vereinbar , wird als lokal vertraglich bezeichnet .

Dies ist die Standarddefinition. Die Anforderung, dass jeder$y_0 \in Y$hat willkürlich kleine (offene) kontrahierbare Nachbarschaften ist stärker und ich bezweifle, dass dies für alle absoluten Extensoren gilt. Sie sollten Steenrods Definition überprüfen.

Siehe auch ANR ist lokal vertraglich vereinbar .