Finde eine bestimmte Gruppe $G$ mit $H,K\unlhd G$, $H\cong K$ und $(G/H)\ncong(G/K)$ [Duplikat]

Question

Ich versuche ein Problem aus meinem gruppentheoretischen Lehrbuch zu lösen. Es sagt:

Finde eine bestimmte Gruppe $G$ mit $H,K\unlhd G$, das überprüft $H\cong K$ aber $(G/H)\ncong(G/K)$.

Ich weiß nicht, welche Gruppe ich berücksichtigen soll. Zuerst dachte ich über die Quaternion nach$Q_8$, aber ich habe keine Lösung gefunden (in meinem Buch wird diese Art von Übungen verwendet, um das zu verwenden $Q_8$). Dann dachte ich über die didrischen Gruppen nach$D_n$ und das symmetrische $Sn$habe aber auch nichts bekommen. Was ist eine mögliche Lösung für dieses Problem? Jede Hilfe wird geschätzt, danke im Voraus.

Answer 1

Sie können also einfach überlegen $G = \mathbb Z, H= 2 \mathbb Z, K = 3 \mathbb Z$. Dann$H \cong K$ aber $\lvert G / H \rvert = 2$ und $\lvert G / K \rvert = 3$daher $G / H \not\cong G / K$.