Finden der Standardform der Parabelgleichung [geschlossen]

Nov 22 2020

Ich habe ein kleines Problem damit, herauszufinden, wie man aus den angegebenen Werten die Standardform einer Parabelgleichung findet. Ich habe versucht, auf YouTube zu googeln und Videos anzusehen, aber ich verstehe nicht, wie ich es tatsächlich machen soll.

Gegeben:

  1. Directrix ist $ x = -2$;; Fokus ist$(2,0)$
  2. Achse entlang der $x$Achse; Scheitelpunkt am Ursprung; durch$(2,5)$
  3. Scheitelpunkt bei $(-2,-2)$;; Fokus auf$(-2,2)$

Ich weiß nicht, wie ich das formulieren soll, einige Hinweise wären willkommen.

Bearbeiten. Ich lese diese aber ich verstehe nicht.

Antworten

4 zaira Nov 22 2020 at 23:30

Beachten Sie, dass es wichtig ist, die Definition einer Parabel zu kennen, was die Kurve neben der Geometrie bedeutet. Eine Parabel ist eine Kurve (Gleichung), bei der jeder Punkt gleich weit von einem festen Punkt (Fokus) und einer festen Linie (Directrix) entfernt ist. Schauen Sie sich zuerst das Bild unten an, um sich mit den Begriffen vertraut zu machen.

Ihre Frage scheint 3 verschiedene Parabeln zu beschreiben.

Parabel 1. Directrix$\equiv x=-2$ , Fokus $\equiv (2,0)$

Wir gehen mit der Definition. Lassen$(h,k)$ein willkürlicher Punkt auf der Parabel sein. Dann muss es gleich weit von der Directrix entfernt sein,$x+2=0$ und Fokus, $(2,0)$ dh es befriedigt \begin{align}|h+2|=\sqrt{(h-2)^2+k^2}&\Rightarrow (h+2)^2=(h-2)^2+k^2\\ &\Rightarrow k^2=(h+2)^2-(h-2)^2=8h\\ &\Rightarrow k^2=8h.\end{align} Schon seit, $(h,k)$ war ein beliebiger Punkt auf der Kurve, können wir sagen, dass die Gleichung der Parabel nichts anderes ist als $$y^2=8x.$$

Parabel 2. Achse$\equiv y=0$ (($x$ Achse), Scheitelpunkt $\equiv (0,0)$ , $(2,5)$ ist ein Punkt, der auf der Kurve liegt

Die Symmetrieachse oder einfach die Achse einer Parabel ist die Linie senkrecht zur Geraden und verläuft durch den Fokus der Parabel. Der Scheitelpunkt wurde als der Punkt definiert, an dem die Achse auf die Kurve selbst trifft.

Jede Parabel mit $y=0$ als Symmetrieachse und Scheitelpunkt $(0,0)$ ist von der Form $$y^2=4px\mathrm{~where~}(p,0)\mathrm{~is~the~focus}.$$

(Warum ist das?)

Der Fokus muss auf einem Punkt liegen, der auf dem liegt $x$ Achse und damit der Form $(p,0)$. Da der Scheitelpunkt ein Punkt auf der Parabel ist, muss er von der Geraden und dem Fokus gleich weit entfernt sein. Die Achse verläuft senkrecht zur Geraden und verläuft durch Fokus und Scheitelpunkt. Angenommen, die Achse trifft am Punkt auf die Gerade$D$ und lass $F$im Mittelpunkt stehen. Dann ist der Scheitelpunkt,$(0,0)$ ist der Mittelpunkt des Liniensegments, $FD$ und $D$liegt auf der Achse. Wir bekommen,$$D\equiv (-p,0).$$ Wir verwenden dies, um die Gleichung der Parabel zu erhalten, wie wir es in Teil 1 getan haben: \begin{align}|x+p|=\sqrt{(x-p)^2+y^2}&\Rightarrow (x+p)^2=(x-p)^2+y^2\\ &\Rightarrow y^2=(x+p)^2-(x-p)^2=4px\\ &\Rightarrow y^2=4px.\end{align}

Wir wissen das $(2,5)$liegt auch auf der Parabel. Daher erfüllt es die Gleichung$y^2=4px$ dh $$5^2=4p\cdot2\Rightarrow p=25/8.$$ Gleichung der Parabel wird $$y^2=\frac{25}{2}x\Leftrightarrow 2y^2=25x.$$

Parabel 3. Scheitelpunkt$\equiv (-2,-2)$, Fokus $\equiv (-2,2)$

Der Fokus und der Scheitelpunkt einer Parabel liegen auf der Achse, und der Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt des Liniensegments, das den Fokus verbindet, und der Punkt, an dem die Achse auf die Gerade trifft (nennen wir diesen Punkt $D$). Die Gerade ist eine Linie senkrecht zur Achse und verläuft durch diese$D$.

Zuerst finden wir $D\equiv(h,k)$. Dann,$$\frac{h-2}{2}=-2\Rightarrow h=-2\mathrm{~and~}\frac{k+2}{2}=-2\Rightarrow k=-6.$$ $\therefore D\equiv(-2,-6).$

Als nächstes beobachten wir, dass die Linie $x=-2$ durchläuft $(-2,-2)$ und $(-2,2)$. Da zwei beliebige Punkte in$\mathbb{R}^2$ Wenn genau eine gerade Linie durch beide verläuft, können wir daraus schließen, dass die Gleichung der Achse lautet $$x+2=0.$$

Jede Linie senkrecht zu einer Linie, $ax+by+c=0$ ist von der Form $bx-ay+k=0.$

Die Directrix hat die Form $$y-k=0$$ und es geht durch den Punkt $D\equiv(-2,-6).$ Daher, $k=-6$ und die directrix ist $y+6=0$. Mit diesen erhalten wir, dass die Gleichung der Parabel ist\begin{align}|y+6|=\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}&\Rightarrow (y+6)^2=(x+2)^2+(y-2)^2\\ &\Rightarrow (x+2)^2=(y+6)^2-(y-2)^2=8(2y+4)\\ &\Rightarrow (x+2)^2=16(y+2).\end{align}

Hinweis. Sobald Sie sich mit Parabeln vertraut gemacht haben, lernen Sie einige Standardparabeln und ihre Eigenschaften kennen. Sie können dann mit dem Kommentar von @ Jan-Magnus Økland unter Ihrer Frage nach Parabel 3 suchen.