Finden Sie die beste Konstante in diesem komplexen Analyseproblem

Dec 16 2020

Ich bin auf ein Problem gestoßen, das mir Probleme bereitet und ziemlich interessant ist, aber ich kann es nicht tun. Hier kommt's.

Lassen $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} zum $\forall n \in \mathbb{N}$ und $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
Deutlich$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$

Zum $n=2$beweisen, dass es existiert $J$, so dass $S_J\geq aS$ und $a\in \mathbb{R}$. Beweise das$a=\frac{1}{2}$ist die beste Konstante.
Zum$n=3$beweisen, dass es existiert $J$, so dass $S_J\geq bS$ und $b\in \mathbb{R}$. Beweise das$b=\frac{1}{3}$ist die beste Konstante.
Was ist die beste Konstante, wenn$n\geq 4$ ?

Antworten

2 RobertIsrael Dec 18 2020 at 04:30

Du willst schreiben $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ wie $S_J$nicht $S_j$:: $j$ ist nur ein "Dummy-Index".

Zum $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ so $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. Ähnliches gilt für$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$, und allgemein $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.

Um das zu sehen $a = 1/2$ ist die beste Konstante für $n=2$, du kannst nehmen $z_1 = 1$ und $z_2 = -1$. Um das zu sehen$a=1/3$ ist das beste für $n=3$, du kannst nehmen $z_1, z_2, z_3$ die drei Kubikwurzeln von $1$.

Ich kenne die besten Konstanten nicht wann $n > 3$.

EDIT: siehe das