Gegenteil der Delta-Delta-Verteilung

Nov 30 2020

Die multivariate Dirac-Delta-Verteilung kann - mehr oder weniger intuitiv - ausgedrückt werden als

\begin{align} \delta(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow0} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

wo

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

Gibt es ein "Gegenteil" davon, das ausgedrückt werden kann als

\begin{align} \epsilon(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow\infty} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

wo auch

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

?

Gibt es einen Namen für diese Distribution und / oder ein Symbol?

Zum Kontext: Ich plane, sie in Windungen zu verwenden, und ich behandle sie als Wahrscheinlichkeitsdichten.

Antworten

2 reuns Nov 30 2020 at 03:44

Beide Grenzen $$\lim_{a\to 0} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}, \qquad \lim_{a\to \infty} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}$$sind vollkommen strenge Definitionen von Verteilungen, die erste konvergiert im Sinne von Verteilungen zu$\delta$ und der zweite zu $0$.