Gegenteil der Delta-Delta-Verteilung
Die multivariate Dirac-Delta-Verteilung kann - mehr oder weniger intuitiv - ausgedrückt werden als
\begin{align} \delta(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow0} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}
wo
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$
Gibt es ein "Gegenteil" davon, das ausgedrückt werden kann als
\begin{align} \epsilon(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow\infty} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}
wo auch
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$
?
Gibt es einen Namen für diese Distribution und / oder ein Symbol?
Zum Kontext: Ich plane, sie in Windungen zu verwenden, und ich behandle sie als Wahrscheinlichkeitsdichten.
Antworten
Beide Grenzen $$\lim_{a\to 0} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}, \qquad \lim_{a\to \infty} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}$$sind vollkommen strenge Definitionen von Verteilungen, die erste konvergiert im Sinne von Verteilungen zu$\delta$ und der zweite zu $0$.