Geschichte irreduzibler Polynome und Motivation für sie
Ich habe über die Geschichte der irreduziblen Polynome nachgedacht und warum sie eingeführt wurden. Ich fand Was ist der Ursprung von Polynomen und Notation für sie? , aber es geht um Polynome im Allgemeinen.
Könnte jemand bitte die historische Motivation für die Einführung und Untersuchung irreduzibler Polynome beschreiben? Ich würde gerne einige Referenzen dafür bekommen.
Antworten
Ich werde die Vorgeschichte des Lösens von Polynomgleichungen und des Faktorisierens von Polynomen überspringen. Lassen Sie mich erwähnen, dass die Analogie zwischen langer Teilung von Zahlen und Polynomen auf den mittelalterlichen islamischen Mathematiker al-Samawal zurückgeht, siehe Wer hat die kurze und lange Teilung erfunden? und der euklidische Algorithmus für Polynome wurde von Hudde, einem jüngeren Zeitgenossen von Descartes, optimiert, siehe Suzuki, The Lost Calculus .
Die eigentliche Geschichte der Irreduziblen beginnt mit zyklotomischen Polynomen in Gauß ' Disquisitiones Arithmeticae (1801). Seine Motivation bezog sich darauf, regelmäßige Polygone mit Lineal und Kompass in einen Kreis zu schreiben, und eine kryptische Bemerkung deutete auf eine Verallgemeinerung des Lemniskaten hin. Die frühe Theorie wurde im Kontext von "höheren Kongruenzen", Polynomgleichungen, Modulo-Primzahlen und ihren Kräften entwickelt, siehe Cox 'Warum Eisenstein das Eisenstein-Kriterium bewies und Dicksons Geschichte der Zahlentheorie, Kap. VIII . Die Untersuchung der allgemeinen Zahlenringe von Kummer und Dedekind stammte aus derselben Quelle.
Gauß bewies, dass zyklotomische Polynome mit Primindizes nicht reduzierbar sind (er verwendete keine solche Terminologie). Dabei bewies er das erste allgemeine Ergebnis zur Irreduzibilität, das Gaußsche Lemma . Noch relevanter war der unveröffentlichte Abschnitt 8 von Disquisitiones Arithmeticae mit dem Titel Disquisitiones generales de congruentiis , in dem Gauß das Modulo "Polynomkongruenzen" studierte$p$dh Polynome in $\mathbb{F}_p[x]$in modernen Begriffen siehe Frei, The Unpublished Section Eight . Er zählte die Anzahl der irreduziblen monischen Polynome in$\mathbb{F}_p[x]$und bewies dabei einen Fall von Hensels Lemma . All dies wurde jedoch erst verfügbar, nachdem Dedekind 1863 Abschnitt 8 veröffentlicht hatte (Vollversion 1876) und in der Zwischenzeit von anderen wiederentdeckt wurde, insbesondere von Schönemann und Dedekind selbst.
Aber auch die veröffentlichten Teile waren Inspiration genug für Abel und Galois. Abels nicht so formulierter Irreduzibilitätssatz erschien in seinem Mémoire sur une classe Particulière d'équations résolubles algébriquement (1829). Abel wurde durch seine frühere Erweiterung des Lemniskats von Gauß 'Ergebnis zur Unterteilung eines Kreises in gleiche Teile gemäß Gauß' Bemerkung dazu geführt. In Galois 'Notiz Sur la theorie des nombres (1830, erscheint sie mit englischer Übersetzung in Die mathematischen Schriften von Évariste Galois ) sehen wir den Begriff " irréduzierbar ", obwohl er eher auf Kongruenzen als auf Polynome und eine verwandte Konstruktion endlicher Felder angewendet wird .
Aber Schönemann hat in einer zweiteiligen Arbeit Grundzuge einer allgemeinen Theorie der Hohern Congruenzen (1845) und Von schwachen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind (1846) unabhängig voneinander die Ergebnisse von Gauß und Galois wiederentdeckt und ist viel weiter gegangen. Insbesondere wendet er "irreduzibel" auf Polynome an und gibt ein allgemeines Problem an: " Um zu untersuchen, ob die Potenz eines irreduziblen Polynom-Modulos$p$ ist oder ist nicht reduzierbares Modulo $p^m$", die er mit einer Version des heutigen " Eisenstein-Kriteriums " der Irreduzibilität löst (hauptsächlich aufgrund von van der Waerdens Versehen). Eisenstein entdeckte das Kriterium wieder, als er Abels Theorem über die Unterteilung des Lemniskaten zurechtwies, und teilte die Idee in einem Brief mit 1847 an Gauß, aber die veröffentlichte Version erschien nur in Uber die Irreductibilitat und einige andere Eigenschaften der Rechte (1850). Eine Reihe von Autoren arbeitete von diesem Zeitpunkt an an höheren Kongruenzen, Mathieau, Serret, Dedekind, Kronecker, Jordan, Weber, usw.
In den Händen von Dedekind nahm die Geschichte nach seiner Abriß einer Theorie der hohen Kongruenzen im bezug auf einen reellen Primzahl-Modul (1857) eine abstraktere Wendung, die zur modernen Ringtheorie führte. Später synthetisierte Dedekind die Arbeit von Gauß, Galois, Schönemann und Kummer, indem er Ringe und Ideale einführte und eine einheitliche Terminologie für Primzahlen und irreduzible Elemente entwickelte. Siehe Welche Änderungen in der Mathematik führten zu einer Änderung der Definition von Primzahlen und zum Ausschluss von 1? In einem konkreteren Sinne gab Kronecker 1882 einen allgemeinen Algorithmus an, um ein rationales ganzzahliges Polynom vollständig in ein Produkt irreduzibler Elemente zu zerlegen, siehe Dorwart, Irreduzibilität von Polynomen. Das Schönemann-Eisenstein-Kriterium wurde von Königsberger (1895), Netto (1896), Bauer und Perron (1905) erweitert. Dumas entwickelte die mittlerweile beliebte Newton-Polygon-Methode zur Untersuchung der Irreduzibilität in Sur quelques cas d'irreductibilite des Polynomes a Coefficient Rationnels (1906), siehe Irreduzibilitätsbedingungen vom Schönemann-Eisenstein-Dumas-Typ von Bonciocat .