Gibt es eine solche Familie von Sets?

Question

Hier ist eine Frage zur Mengenlehre:

Gibt es eine Familie? $S$ von geschlossenen Scheiben in $\mathbb{R^2}$ positive Radien haben, so dass jede dieser Scheiben höchstens einen Punkt gemeinsam hat und $\mathbb{R^2}- {\cup D}$ ist zählbar.

Ich habe keine Ahnung, wie ich mich dieser Frage nähern soll.

Bitte geben Sie mir einen Hinweis, wie Sie diesen starten sollen

Answer 1

Es ist ein bekannter Satz (von Sierpiński, glaube ich), dass die reale Linie keine nichttriviale Aufteilung in zählbar viele geschlossene Mengen zulässt; siehe meine Antwort auf diese Frage .

Nehmen wir nun für einen Widerspruch an, dass die Ebene die Vereinigung einer (notwendigerweise zählbaren) Ansammlung geschlossener Scheiben (mit positivem Radius) mit disjunkten Innenräumen plus zählbar vielen Einzelpunkten ist.

Lassen $L$eine Linie in der Ebene sein, die keinen der unzähligen Punkte durchläuft, an denen sich zwei dieser geschlossenen Scheiben berühren. Der Schnittpunkt jeder der angegebenen Scheiben mit$L$ist entweder ein geschlossenes Intervall oder ein einzelner Punkt. So$L$ ist die Vereinigung einer zählbaren disjunkten Sammlung geschlossener Intervalle und Singletons, was dem oben erwähnten Satz widerspricht.

Anmerkung. Wenn$S$ ist eine Familie geschlossener Scheiben mit positivem Radius und unzusammenhängenden Innenräumen $\mathbb R^2$, dann $\mathbb R^2\setminus\bigcup S$ ist eine unzählige $G_\delta$ gesetzt, so hat es Kardinalität $2^{\aleph_0}$.