Gibt es zentral symmetrische selbst-duale Polytope in der Dimension? $d> 4$?

Dec 23 2020

Ein konvexes Polytop$P\subset\Bbb R^d$ist zentral symmetrisch, wenn$-P=P$. Es ist selbst-dual (oder besser selbst-polar?), Wenn es polar-dual ist$P^\circ$ ist kongruent zu $P$Das heißt, es gibt eine Karte $X\in\mathrm O(\smash{\Bbb R^d})$ mit $\smash{P^\circ}=XP$.

Frage: Gibt es zentral symmetrische Self-Dual-Polytope in der Dimension?$d>4$?

Solche existieren in der Dimension $d=2$ und $d=4$::

  • zum $d=2$ wir haben die regulären 2n-gons,
  • zum $d=4$ Wir haben die regulären 24-Zellen.

Antworten

5 GuillaumeAubrun Jan 06 2021 at 21:43

In jeder Dimension gibt es zentral symmetrische Self-Dual-Polytope. Dies folgt aus Satz 3.9 in Reisner, S. , Bestimmte Banach-Räume, die mit Graphen assoziiert sind, und CL-Räume mit 1-bedingungslosen Basen , J. Lond. Mathematik. Soc., II. Ser. 43, Nr. 1, 137-148 (1991). ZBL0757.46030 .

Darüber hinaus in der Dimension $\geqslant 3$ die Matrix $X$ kann als Permutationsmatrix gewählt werden.

Hier ist ein Beispiel in der Dimension $3^d$ für jeden $d$. Beginnen Sie mit dem Sztencel-Zaramba-Polytop$P$. Dies ist die Einheitskugel für die Norm auf$\mathbf{R}^3$ $$ \|(x,y,z)\| = \max \left( |y|+|z|, |x|+\frac 12 |z| \right)$$ deren duale Norm erfüllt $$ \|(x,y,z)\|_* = \|(z,y,x)\|. $$ Wir können nun induktiv eine Sequenz definieren $\|\cdot\|_d$, das ist Norm auf $\mathbf{R}^{3^d}$ (identifiziert mit $\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}$). Wählte$\|\cdot\|_1$ über der Norm sein und die rekursive Formel verwenden $$ \|(x,y,z)\|_{d+1} = \|( \|x\|_d ,\|y\|_d , \|z\|_d )\|_1 .$$ Man prüft durch Induktion, ob es eine Permutationsmatrix gibt, die die Einheitskugel auf ihre Polarität abbildet.

Visualisierung des Polytops $P$ Sie können den Sage-Code verwenden

p1 = Polyhedron(vertices=[[0,1,1],[0,1,-1],[0,-1,1],[0,-1,-1],[1,0,1/2],[1,0,-1/2],[-1,0,1/2],[-1,0,-1/2]])
p1.projection().plot()