Globale Abschnitte des eigentlichen Integrals $k$-Schema ist endliche Felderweiterung von $k$

Question

Ich versuche folgendes zu zeigen: wenn $X$ ist ein integraler Eigen $k$-planen, $k$ also ein Feld $O_X(X)$ ist eine endliche Felderweiterung von $k$.

Das ist mir gelungen $O_X(X)$ ist ein Feld, aber ich verstehe nicht, warum es eine endliche Felderweiterung sein muss.

(Um zu zeigen, dass es sich um ein Feld handelt, das ich verwendet habe, entspricht ein globaler Abschnitt einem Morphismus $X \to \operatorname{Spec} k[x]$kann man zeigen, dass das Bild ein geschlossener Punkt ist, also wenn $s \neq 0$ es gibt ein irreduzibles Polynom $g \in k[x]$ so dass $g(s)=0$, also ist es invertierbar.)

Ich möchte vermeiden, Kohomologie / Grothendiecks Endlichkeitsergebnis für korrekte Morphismen zu verwenden. Eine ähnliche Frage wurde hier gestellt, aber ich gehe nicht davon aus$X$ ist geometrisch ganzheitlich.

Answer 1

Die Lösung wurde in den Kommentaren ausgearbeitet. Da Restriktionskarten für die Strukturgarbe auf einem Integralschema injektiv sind,$O_X(X)$ bettet in ein $O_X(\operatorname{Spec} A)=A$ zum $\operatorname{Spec} A$ jedes affine offene Teilschema von $X$. Lassen$\mathfrak{m}$ sei ein maximales Ideal von $A$. Dann$O_X(X)\subset A$ schneidet nicht $\mathfrak{m}$, also die Karte von $O_X(X)$ zu seinem Bild in $A/\mathfrak{m}$ist eine Injektion. So$O_X(X)$ bettet sich in ein Restfeld eines endlichen Schemas ein $k$und alle diese Restfelder sind endliche Erweiterungen von $k$ von Zariskis Lemma.