Hamilton-Operator für Ladungsteilchen im elektromagnetischen Feld in Dipolnäherung
Warum kann der Hamiltonianer $$ H = \frac{1}{2m}\left(\vec{p}-q\vec{A}\right)^2+q\Phi + V $$ verwandelt werden in $$ H = \frac{1}{2m}\vec{p}^2 - q \vec r \vec E + V $$ in der Dipolnäherung, in der das Vektorpotential $\vec{A}$ (und infolgedessen das elektrische Feld $\vec{E}$) im Raum als konstant angenommen werden?
Bisher habe ich drei Ansätze gefunden, um den zweiten Hamilton-Operator abzuleiten.
- Erweitern Sie den quadratischen Ausdruck und vernachlässigen Sie $q^2 \vec{A}^2$. Während dies in der Literatur häufig angewendet wird, ist es in der Dipolnäherung tatsächlich nicht erforderlich.
- Transformieren Sie die resultierenden Wellenfunktionen $\psi' = \exp(-\mathrm{i}\hbar^{-1}q\vec{r}\vec{A})\psi$, wie zB in Meystre "Elements of Quantum Optics" beschrieben. Aber warum ist eine solche Transformation gültig? Klar, die Wahrscheinlichkeitsverteilung$|\psi'|^2 = |\psi|^2$ ändert sich nicht, aber es ist nicht gerade eine Eichentransformation, oder?
- Maria Goeppert-Mayer [1] gibt an, dass der Lagrange, der dem ersten Hamilton in diesem Beitrag entspricht, einem anderen Lagrange entspricht, der durch Addition des Gesamtdifferentials abgeleitet wird $\mathrm{d}_t(\vec{r} \vec{A})$. Der zweite Lagrange kann in diesem Beitrag in den zweiten Hamiltonianer umgewandelt werden. Aber warum ist dieser Zusatz gültig?
[1] Göppert-Mayer, Maria. "Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen." Annalen der Physik 401.3 (1931): 273 & ndash; 294.
Antworten
In der Hoffnung, dass es für einige hilfreich sein könnte, möchte ich eine kurze Zusammenfassung meiner Ergebnisse veröffentlichen.
Wir stellen fest, dass die kanonische Dynamik $\vec{p}'$ unterscheidet sich vom mechanischen Impuls $\vec{p} = m \vec{v}$im ersten Hamiltonianer. Wir wollen eine Form ableiten, in der beide Impulse zusammenfallen. Dies kann erreicht werden, indem dem Lagrange ein Gesamtzeitdifferential hinzugefügt wird, wie in der Arbeit von M. Goeppert-Mayer beschrieben. In diesem Beitrag und den darin enthaltenen Referenzen wird ausführlich erklärt, warum die Euler-Lagrange-Gleichung für diese Operation unveränderlich ist. Vielen Dank an @Philip für den Hinweis.
Im Rahmen des Hamiltonschen Formalismus entspricht diese Operation einer kanonischen Transformation. Hier fand ich diese Antwort sehr hilfreich. Basierend auf dieser Antwort verwenden wir die Transformation$$\vec{r}' = \vec{r}$$ $$\vec{p}' = \vec{p} + \nabla_\vec{r} F $$ $$H' = H - \partial_t F$$ und definieren $F = - q \vec{r} \vec{A}$.
Wir stellen fest, dass das Vektorpotential $\vec{A}$ wird als räumlich konstant angenommen (zumindest in den Dimensionen des quantenmechanischen Systems), so dass $$\vec{p}' = \vec{p} - q A$$ und schreibe für den neuen Hamiltonianer $$H'(\vec{r}, \vec{p}', t) = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V + \partial_t q \vec{r} \vec{A} = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V - q \vec{r} \vec{E}.$$
Anmerkung 1: Das Skalarpotential $\varphi$ wird normalerweise in den Ableitungen, die ich bisher gesehen habe, als Null angenommen.
Anmerkung 2: Wenn Sie sich mit der hier erwähnten Subtilität befassen, ist es hilfreich, dies zu wissen$\partial_{\vec{r}}^2 F = 0$.