Hyperkonzise Mathematik D5: Komplexe Zahlen

Polarkoordinaten (r, θ) = (Betrag, Winkel gegen den Uhrzeigersinn mit kartesischem Wert (1, 0)) können verwendet werden, um die Winkel zwischen mehreren Vektoren in zwei Dimensionen zu verfolgen. Sie beziehen sich auf kartesische Koordinaten (x, y) durch die Gleichungen x = r⦁cos(θ) und y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) bezieht sich auf den Punkt (r, θ + τ/2 ), und wenn k eine beliebige ganze Zahl ist, bezieht sich (r, θ + k⦁τ) auf den Punkt (r, θ)). Auflösen nach r und θ, r² = x² + y² und

Zum Beispiel,

Durch Multiplizieren einer Zahl (eindimensionaler Vektor) mit −1 wird diese um τ/2 Bogenmaß um 0 gedreht (im eindimensionalen Raum). Man kann einen neuen Zahlentyp (i) so definieren, dass die Multiplikation einer Zahl mit i diese um τ/4 Bogenmaß um 0 (in der komplexen Ebene) dreht; Jede Zahl in der Form x + i⦁y, wobei sowohl x als auch y reelle Zahlen sind (jede Zahl, die als Grenze eines Dezimalausdrucks definiert werden kann) und i² = −1 als komplexe Zahl bekannt ist. Die komplexe Ebene ist der zweidimensionale Raum, der alle komplexen Zahlen enthält.

Wenn z eine komplexe Zahl ist (e ist eine durch Analysis definierte Konstante),

Zum Beispiel,

Wenn Sie die Eigenschaften inverser „Funktionen“ mit komplexen Zahlen verwenden, können Sie die anderen Zweige nicht mehr ignorieren:

Grundsatz der Algebra: Wenn aₖ und bₖ jeweils eine komplexe Zahl sind, die nicht von z abhängt (einige können gleich sein), dann