Indizierung in DFT (aus einem alten Papier)

Question

Es gibt ein schönes Papier zur Erklärung der DFT aus den 1960er Jahren in IEEE. Eine Führung durch die schnelle Fourier-Transformation . Der Autor verwendet die folgenden Definitionen von DFT

DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$

Invers $$ x(k)=\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} X(j) \exp \left(i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$

wobei die Indizes j = 0, 1, 2, ..., N-1 und in ähnlicher Weise k = 0, 1, 2, ..., N-1 sind.

Nun zeigen die Autoren eine Figur, in der die Indizes j und k von 0 bis N und nicht von N-1 reichen . Nehmen wir an, wir hatten 10 Datenpunkte, also N = 10; und j und k sollten von 0 bis 9 laufen, nicht von 10. Ist dies ein typografischer Fehler in der Figur?

Es scheint, dass sein N auch bei Null beginnt, dann ist die Zahl konsistent, aber die Summationsformel hat N-1.

Answer 1

Die Zahlen sind korrekt. Sie können sehen, dass es Beispiele an Indizes gibt$0,1,\ldots,N-1$. Im Index werden keine Beispiele angezeigt$N$weder im Zeitbereich noch im Frequenzbereich. Der Wert$N$ wird nur auf der Abszisse angezeigt, weil sie im Frequenzbereich der Abtastfrequenz und im Zeitbereich dem Ende des durch dargestellten zeitkontinuierlichen Signals entspricht $N$ Stichproben (wenn wir annehmen, dass jede Stichprobe einen Teil der Länge darstellt $\Delta T$).

Für eine sehr detaillierte Diskussion über die Definition der tatsächlichen Dauer einer zeitdiskreten Sequenz werfen Sie einen Blick auf die Antworten auf diese Frage .