Integration von $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Question

Ich wollte integrieren $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
Was ich weiß ist das$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ wo die Summe über alles ist $2^{n-1}$ möglich $\pm$.
Aber ganz offensichtlich ist dies schwer zu integrieren.
Von dieser kam ich wissen , Werner-Formel , die ich denke , ganz weniger kompliziert das oben beschriebene Problem zu lösen. Aber ich weiß nicht, wie ich diese Formel für eine beliebige setzen soll$n$ für das gegebene Problem.

Vielen Dank, dass Sie mir im Voraus geholfen haben.

Answer 1

Ihre Frage ist: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ wir könnten versuchen, die Tatsache zu nutzen, dass: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ und dann sag: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ Dieser erste Teil ist ganz einfach zu machen: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ Jetzt rechnet der schwierige Teil: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ und dann offensichtlich zu integrieren, was auch immer das Ergebnis ist