Integration von $\frac{1}{x(x+1)(x+2)…(x+m)}$ [Duplikat]

Nov 20 2020

Ich bin auf diese Frage gestoßen, $$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} dx$$

Ich habe versucht, die rationale Funktion in Teilfraktionen aufzuteilen $$ \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}+...+\frac{Z}{x+m}$$ Ich bin mir nicht sicher, wie ich von hier aus vorgehen soll.

Kann mich jemand mit schrittweisen Erklärungen aufklären? Ich bin leicht verwirrt, wenn bestimmte Schritte übersprungen werden.

Antworten

5 Quanto Nov 20 2020 at 22:52

Hinweis $$\frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)}=\sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k} $$ wo $a_k$ werden wie folgt erhalten \begin{align} a_k &=\lim_{x\to -k} \frac{x+k}{x(x+1)(x+2)...(x+k)...(x+m)}\\ &= \frac{1}{[(-k)(1-k)(2-k)(-2)(-1)]\cdot[(1)(2)...(m-k-1)(m-k)]}\\ &=\frac1{(-1)^k k!(m-k)!} \end{align} So

$$\int \frac{dx}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} =\int \sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k}dx = \sum_{k =0}^{m} \frac{(-1)^k\ln|x+k|}{k!(m-k)!}+C $$