Ist eine endliche Halbgruppe dieses Typs ein linkes Monoid?
Lassen $(S, \cdot, e)$ eine Halbgruppe sein $(S, \cdot)$ mit binärer Operation $e$ in denen die Identitäten $e(x, y)\cdot x\approx x$ und $e(x, y)\approx e(y, x)$ halt.
In dieser Frage habe ich gefragt, ob eine solche Halbgruppe notwendigerweise ein linkes Monoid ist. Beispiel von J.-E. Pin zeigt, dass dies nicht wahr ist. Deutlich,$(\mathbb{Z}, \min, \max)$ ist kein linkes Monoid, erfüllt aber diese Identitäten.
Ein linkes Monoid ist eine Halbgruppe mit linker Identität.
Da ich keine endliche Halbgruppe wie diese finden konnte, die kein linkes Monoid wäre, habe ich versucht, GAP-Halbgruppen der Ordnung einzuchecken $\leq 4$Ich vermute, dass alle endlichen Halbgruppen dieser Form aus kombinatorischen Gründen Monoide sind.
Leider bin ich mir nicht sicher, wie ich alle Halbgruppen von Bestellungen erhalten soll, sagen wir: $\leq 7$Dies wären keine Monoide und keine Halbgruppen, außer dass alle Halbgruppen, die nicht monogen oder monoide sind, mit dem Smallsemi-Paket von GAP von Hand genommen und durch Erstellen einer Multiplikationstabelle überprüft werden, ob sie von dieser Form sind. Wie Sie sich vorstellen können, ist dies sehr mühsam.
Gibt es eine endliche Halbgruppe dieser Form, die kein linkes Monoid ist, und wenn ja, können Sie ein Beispiel für die geringste Ordnung liefern?
Antworten
Jede nicht leere endliche Halbgruppe $S$dieses Typs hat eine linke Identität. Beobachten Sie das zuerst für alle$x, y \in S$, $$ (1) \quad e(x,y)x = x \text{ and } e(x,y)y = e(y,x)y = y. $$ Schon seit $S$ ist endlich, es enthält ein Idempotent $x_0$. Lassen$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ und lass $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ sei die Folge von Elementen von $S$ definiert von $a_0 = x_0$ und für $1 \leqslant i \leqslant n$, $a_i = e(a_{i-1},x_i)$.
Behauptung :$a_n$ ist eine linke Identität von $S$.
Beobachten Sie zuerst, dass für $1 \leqslant i \leqslant n$, \begin{align} &(2) \quad& a_ia_{i-1} &= e(a_{i-1},x_i)a_{i-1} = a_{i-1} \\ &(3) \quad& a_ix_i &= e(a_{i-1},x_i)x_i = x_i \end{align} Lassen Sie uns nun durch Induktion beweisen $k = i+j$ dafür $0 \leqslant i \leqslant j$, $$ (4) \quad a_jx_i = x_i. $$ Wenn $k = 0$, dann $i = j = 0$ und $a_0x_0 = x_0$ schon seit $x_0$ist idempotent. Angenommen, (4) gilt für$i + j \leqslant k$ und nimm das an $i + j = k+1$. Wenn$i = j$dann folgt (4) aus (3). Wenn jetzt$i \leqslant j-1$, dann $a_{j-1}x_i = x_i$durch die Induktionshypothese. Daraus folgt aus (2), dass$$ a_jx_i = a_j(a_{j-1}x_i) = (a_ja_{j-1})x_i = a_{j-1}x_i = x_i. $$ Dies beweist die Behauptung und schließt den Beweis ab.