Ist $x$ ein algebraisches Element über dem Feld der rationalen Funktionen $K(x)^p$?

Dec 25 2020

Die Frage ist $x \in K(x)$ ein algebraisches Element über dem Feld $K(x)^p$?

Edit: Let $K$ sei ein Feld mit char ($K)=p>0$ und lass $K(x)$ sei das Feld der rationalen Funktionen vorbei $K$.

Mein Versuch: Ich habe im Grunde versucht, dies zu beantworten, indem ich mich auf Folgendes bezog:

Feld $K (x)$ von rationalen Funktionen vorbei $K$, das Element $x$ hat keine $p$Wurzel.

Nehmen wir das Gegenteil an $x$ ist algebraisch vorbei $K(x)^p$, und so $x$ ist eine Wurzel von einigen $p$-grad Polynom so, dass; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

Hier sehen wir den Widerspruch seit den Graden von $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ und $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.

Ich bin völlig verloren, ich habe die 4. Ausgabe von Abstract Algebra von Beachy verwendet und das Feld der Rationalitäten wird kaum erwähnt. Alle Hinweise und vielleicht Vorschläge zu Ressourcen, in denen ich mehr über das Gebiet der Rationals erfahren kann, wären sehr dankbar, danke!

Antworten

4 CPCH Dec 25 2020 at 02:53

$x$ ist in der Tat algebraisch vorbei $K(x)^p$ (Beachten Sie die Kommentare zur Frage, das brauchen wir nur $x^p\in K(x)^p$. Ich denke, es könnte für Sie verwirrend sein, in welchem ​​Ring wir versuchen, Polynome zu finden, die haben$x$als Wurzel. Rufen wir an, um dieses Notationsproblem zu umgehen$F:=K(x)^p$.

Jetzt $x$ ist algebraisch vorbei $F$ wenn es ein Polynom gibt $g\in F[Y]$ st $g(x)=0$. Schauen wir uns das Polynom an$g=Y^p-x^p$. Wir wissen das$x^p\in F$, so $g\in F[Y]$. Klar auch$g(x)=x^p-x^p=0$, so $x$ ist algebraisch vorbei $F$.

4 Lubin Dec 25 2020 at 02:59

Ich gehe davon aus, dass du das meinst $K$ charakteristisch sein $p>0$. Vielleicht werden Sie von der Möglichkeit geworfen, dass$K$ ist in diesem Fall nicht perfekt $\bigl(K(x)\bigr)^p$ unterscheidet sich von $K(x^p)$. Keine Sorge: Für unsere Zwecke spielt es keine Rolle.

Betrachten wir Ihr Feld $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, in dem sich ein Element befindet $x^p$. Ich werde dieses Element nennen$t$. Wir stellen fest, dass es einen Feldisomorphismus gibt$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, durch $\varphi(f)=f^p$. Und das Bild des Elements$x$ von $K(x)$ ist $t\in\mathscr L$;; genauso wie$x$ hat keine $p$-te Wurzel in $K(x)$, so $t$ hat keine $p$-te Wurzel in $\mathscr L$. Und so kam es dass der$\mathscr L$-Polynom $X^p-t$ ist irreduzibel ($\dagger$). Es hat eine Wurzel wieder in$K(x)$nämlich $x$. Und da bist du ja.

($\dagger$) Ich habe die Tatsache genutzt, dass in einem Feld $k$ von charakteristischer $p$, $X^p-b$ entweder hat eine Wurzel in $k$ oder ist $k$-reduzierbar.