Kategorie mit Null-Morphismen impliziert Null-Objekt?
Lassen$\mathscr{A}$eine Kategorie sein. Dann sagen wir das$\mathscr{A}$ist eine Kategorie mit null Morphismen, wenn für alle$A,A'\in\mathscr{A}$es gibt einen Nullmorphismus$0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$, und die Nullmorphismen gehorchen einem bestimmten kommutativen Diagramm (siehe Wiki ). Nun nehme an$\mathscr{A}$hat ein Nullobjekt$0$. Dann$\mathscr{A}$ist eine Kategorie mit Null-Morphismen, und jeder Null-Morphismus faktorisiert eindeutig durch das Null-Objekt. Wie wäre es also mit dem Gegenteil? Wenn$\mathscr{A}$ist eine Kategorie mit Null-Morphismen, hat sie notwendigerweise ein Null-Objekt? Wenn nein, gibt es ein oder mehrere einfache Gegenbeispiele?
Antworten
Nein, eine Kategorie mit Nullmorphismen muss kein Nullobjekt haben. Ein einfaches Gegenbeispiel ist die Betrachtung eines Nicht-Null-Rings$R$als Ein-Objekt-Kategorie betrachtet (sogar als Ein-Objekt-Kategorie).$\text{Ab}$-angereicherte / voradditive Kategorie) oder allgemeiner ein Monoid mit einem Nullelement / absorbierenden Element und mindestens einem anderen Nicht-Null-Element (aber Nicht-Null-Ringe sind ein schönes bekanntes Beispiel dafür).
Richtig ist, dass es bei einer gegebenen Kategorie mit Null-Morphismen eine einzigartige Möglichkeit gibt, ein Null-Objekt daran anzuhängen, wenn es noch keines hat: Es hat einen einzigartigen Morphismus zu und von jedem anderen Objekt und jeder Komposition, die diese Morphismen enthält ist Null. Diese Konstruktion ist der linke Adjoint der Einbeziehung von (Kategorien mit Null-Objekten) in (Kategorien mit Null-Morphismen), wobei in beiden Fällen Morphismen Funktoren sind, die Null-Morphismen bewahren.
Wenn eine Kategorie mit Null-Morphismen entweder ein Anfangs- oder Endobjekt hat, ist dieses Objekt automatisch ein Null-Objekt, und ein Funktor zwischen zwei Kategorien-mit-Null-Objekten, der Null-Morphismen beibehält, behält automatisch Null-Objekte bei. In diesem Blogbeitrag gehe ich etwas detaillierter darauf ein .