Können wir aufgrund der endlichen Genauigkeit unserer Berechnungen eine chaotische Bewegung haben? [Duplikat]
Unter chaotischer Bewegung verstehe ich, dass sehr kleine Störungen im Ausgangszustand zu sehr unterschiedlichen Trajektorien im Phasenraum führen können. Aus diesem Grund können wir die Bewegung niemals genau vorhersagen, da wir niemals 100% genaue Anfangsbedingungen haben können.
Können wir die Unfähigkeit betrachten, die zukünftigen Zustände auf andere Weise vorherzusagen, abhängig von der Genauigkeit unserer Berechnungen (die auf einem Computer durchgeführt werden)? Gibt es Situationen, in denen wir die Anfangsbedingungen mit 100% iger Genauigkeit kennen, aber dennoch keiner der vorhergesagten Bewegungen vertrauen können, da die Bewegung von der Genauigkeit von Zwischenberechnungen abhängt, die auf einem Computer durchgeführt werden und endlich und daher nicht perfekt sind präzise?
Wenn ich beispielsweise ein numerisches Integral als Schritt in Richtung einer endgültigen Antwort berechnen müsste, wenn mein Integral ein Computer mit 16 Gleitkomma-Werten gegenüber 32 Gleitkomma-Genauigkeit wäre, würde dies einer Differenz bei der sechzehnten signifikanten Ziffer entsprechen, die dann sein könnte ausreichend, um in den nachfolgenden Trajektorien ein völlig anderes Verhalten hervorzurufen.
Wir könnten uns einen Fall vorstellen, in dem unabhängig von der Genauigkeit Ihrer Berechnungen eine zusätzliche Genauigkeit der Berechnungen dazu führen würde, dass die Flugbahn chaotisch divergiert. Ist dieses Phänomen bekannt und gibt es Beispiele dafür?
Antworten
Die Titelfrage unterscheidet sich ein wenig von der im Hauptteil des Beitrags. Schauen wir sie uns also einzeln an:
-
Können wir aufgrund der endlichen Genauigkeit unserer Berechnungen eine chaotische Bewegung haben?
Ja, Lorenz selbst hat das Phänomen beschrieben und es als rechnerisches Chaos bezeichnet [Lorenz 1989]:
Wenn man durch schrittweise numerische Integration nach Näherungslösungen eines Satzes von Differentialgleichungen sucht, wählt man ein Zeitinkrement $\tau$ [...] kann zu chaotischen Lösungen führen, selbst wenn sich die wahren Lösungen Grenzzyklen oder Fixpunkten nähern.
-
kann keiner der vorhergesagten Bewegungen vertrauen [?]
Zumindest für hyperbolische Systeme kann man ihnen ja vertrauen. Was Sie abdeckt, ist das sogenannte Shadowing-Theorem , das garantiert, dass es einen etwas anderen Anfangspunkt gibt, dessen Trajektorie willkürlich nahe am computergenerierten bleibt, obwohl Sie tatsächlich nicht die wahre Trajektorie des von Ihnen ausgewählten Anfangszustands simulieren Flugbahn. Überprüfen Sie auch diese Antwort .
[Lorenz 1989] Computerchaos - ein Auftakt zur Computerinstabilität , Physica D 35 (3), 1989, Seiten 299-317.
Ja, es ist durchaus möglich, dass Rundungsfehler aufgrund endlicher Genauigkeitsarithmetik das Ergebnis von Computersimulationen nichtlinearer Systeme dramatisch beeinflussen können. Tatsächlich war Edward Lorenz , einer der Pioniere der modernen Chaostheorie, inspiriert, chaotische Systeme zu studieren, als er dieses Problem erlebte. Lorenz führte eine Wettersimulation mit nichtlinearen Differentialgleichungen auf einem frühen digitalen Computer durch. Als er versuchte, ein Szenario durch Eingabe von Anfangswerten mit drei Dezimalstellen zu reproduzieren, stellte er fest, dass die Wiederholung sehr schnell von der ursprünglichen Ausgabe abwich. Die Untersuchung der Ursache dieses überraschenden Verhaltens, das Lorenz später als Schmetterlingseffekt bezeichnete , führte zur Entdeckung des Lorenz-Attraktors .