Lassen $x_0$sei eine transzendente Zahl, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Was ist die Grenze von $x_n$?

Jan 15 2021

Lassen$x_0$sei eine transzendente Zahl,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$Was ist die Grenze von$x_{n}$?

Wählen$x_0=\pi$, und es scheint, dass die Grenze von$x_n$ist$-1$. Aber was ist der Beweis dafür$\pi$und andere Nummern? Lassen$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Folgendes kann hilfreich sein.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Antworten

VarunVejalla Jan 15 2021 at 21:05

Lassen$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Wenn$\lim x_n$existiert also$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, also eingestellt$$L=f(L)$$

Dafür gibt es drei Lösungen:$L = -3, -1, 1$. Um den richtigen zu finden, beachten Sie dies für eine kleine Nachbarschaft$-3$, Sie haben$|f(x)+3|>|x+3|$, und herum$1$, Sie haben$|f(x)-1|>|x-1|$. Für beide$-3$und$1$, wird der Unterschied noch größer gemacht. Um herum$-1$andererseits hast du$|f(x)+1|<|x+1|$, also wird der Unterschied kleiner (das ist kein rigoroser Beweis, sondern eher ein intuitiver).

Also für "die meisten"$x_0$, es wird zu konvergieren$-1$. Nur so wird es konvergieren$-3$oder$1$ist, wenn es in einer endlichen Anzahl von Iterationen genau konvergiert. Aber damit das wahr ist, muss es eine Lösung dafür geben$$f^n(x_0) = -3$$(oder$1$) für einige$n$, was bedeutet, dass es algebraisch sein muss. Daher wird für alles Transzendente die Grenze sein$-1$.