Lineare Algebra - Dimension des Subraumproblems

Aug 16 2020

Ich fand diese Frage aus einer Vorlesungsfolie im Abschnitt GRE-Algebra des Mathefachs und konnte sie nicht herausfinden.

Annehmen $V$ist ein realer Vektorraum endlicher Dimension n. Rufen Sie den Satz von Matrizen von auf$V$ in sich $M(V)$.
Lassen$T∈ M(V)$. Betrachten Sie die beiden Unterräume$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ und $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

Welche der folgenden Aussagen muss WAHR sein?

I. Wenn $V$ hat eine Basis, die nur Eigenvektoren von enthält $T$ dann $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

Ich denke, dass II falsch sein muss, aber ich kann die Wahrheit von I oder III nicht herausfinden. Jede Hilfe wird geschätzt!

Antworten

DoctorWho Aug 16 2020 at 09:30

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 ist nicht unbedingt wahr. Zum Mitnehmen$n = 2$, und lass $T(e_1) = e_1$ und $T(e_2) = 2e_2$. Lassen$X$ Beste $X(e_1) = e_1$ und $X(e_2) = e_1 + e_2$. Dann$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, aber $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Dann$TX \neq XT$.

2 ist wahr. Betrachten Sie die lineare Karte$f: M(V) \to M(V)$ Senden $X$ zu $TX - XT$. Dann können wir schreiben$W = \im(f)$ und $U = \ker(f)$. Dann nach dem Rang-Null-Theorem,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 ist nicht unbedingt wahr. Zum Mitnehmen$n > 1$ und $T =$Die Identität. Dann$U = M(V)$ so $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.