Log-Transformation einer Wahrscheinlichkeitsfunktion

Aug 16 2020

Ich habe eine Wahrscheinlichkeitsfunktion$$ L(\theta;\mathbf x) = \frac{\prod x_i^{\nu-1} \exp\left( -\sum x_i/\theta \right) }{\theta^{\nu n} [\Gamma(\nu)] } \qquad x>0 $$

Es wird in die folgende Formel log-transformiert$$ \ln L(\theta;\mathbf x) = \text{constant} - \frac{n\overline x} \theta - \nu\theta\ln\theta $$

Zwei Fragen:

  1. Ich erhalte das gleiche Ergebnis, wenn ich die Transformation selbst durchführe, außer dass ich zusätzlich zu dem obigen Ergebnis einen zusätzlichen Term erhalte$n\bar{x}(\nu-1)$– warum soll es nicht dabei sein?
  1. Auch bekomme ich${}-\text{const}$statt${}+\text{const}$, aber ich nehme an, weil es ein willkürlicher konstanter Wert ist, dann auch nicht$+$oder$-$funktioniert?

Antworten

1 MichaelHardy Aug 15 2020 at 23:24

In diesem Zusammenhang bedeutet "konstant" nicht abhängig von$\theta.$Alle Begriffe, die nicht abhängen$\theta$sind konstant. Insbesondere ist das nächste, was man nach dem Logarithmieren tut, oft das Differenzieren in Bezug auf$\theta,$und dann jeder Begriff nicht abhängig von$\theta$verschwindet.