$\mathbb R$ mit der Topologie generiert von $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ ist pseudokompakt

Aug 16 2020

Ich versuche, die folgende Frage aus den UChicago GRE-Vorbereitungsproblemen zu lösen:

Schenken $\mathbb R$ mit der richtigen Topologie, generiert von $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ und nenne diesen Raum $X$. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

(...)

(E) $X$ ist pseudokompakt (jede stetige Funktion $f: X \to \mathbb R$ ist begrenzt)

Laut Antwortschlüssel ist (E) nicht falsch. Ich habe noch nie von dem Begriff Pseudokompaktheit gehört, aber ich versuche, Dinge aus der Definition herauszuarbeiten. Wenn ich richtig verstehe, die Topologie$\mathcal O_\tau$ von der Basis generiert $\tau$ ist $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. Die grundlegende Eigenschaft kontinuierlicher Funktionen besteht darin, dass das Vorbild jeder offenen Menge offen ist. Wie zeigen wir das?$f: X \to \mathbb R$ ist begrenzt?

Antworten

3 tomasz Aug 16 2020 at 03:55

Hinweis :$X$hat eine noch stärkere Eigenschaft: Jede stetige reelle Funktion (tatsächlich jede stetige Funktion mit Werten in einem Hausdorff-Raum) ist konstant. Dies folgt aus der Tatsache, dass dort alle zwei nicht leeren offenen Teilmengen von$X$ schneiden.

2 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 04:38

Annehmen $f:X \to \Bbb R$ ist kontinuierlich und nehmen an $f$waren nicht konstant. Dies bedeutet, dass es gibt$x_1 \neq x_2 \in X$ mit $f(x_1) \neq f(x_2)$. Angenommen, (WLOG) das$f(x_1) < f(x_2)$ dann finden $c\in \Bbb R$ mit $f(x_1) < c < f(x_2)$. Dann$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ ist offen und $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ ist auch offen (beide durch Kontinuität von $f$) und $O_1$ und $O_2$ sind also nicht leer offen und disjunkt in $X$. Dies geschieht jedoch niemals, wenn solche einsetzen$X$ per definitionem sind immer von der form $(a, +\infty)$ und zwei beliebige dieser Schnittpunkte (jeder Punkt, der größer als das Maximum ihrer Grenzpunkte ist, befindet sich im Schnittpunkt).

Also jeder kontinuierliche Realwert $f$ auf $X$ ist daher konstant (so sicher begrenzt) $X$ ist pseudokompakt.