Mathematische Definition von Macht [Duplikat]
Ich bin ein Gymnasiast, der mit einigen Gleichungen herumgespielt hat, und ich habe eine Formel abgeleitet, die ich mir physikalisch nicht vorstellen kann.
\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}
Ich habe Work anhand seiner Vektorformel unterschieden $\vec F \cdot \vec r$Also habe ich diese Formel durch Anwendung der Produktregel erhalten. Wenn in dieser Formel$\frac{d\vec F}{dt}=0$ (Kraft ist konstant), als Formel wird gerade $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ Das macht total Sinn, aber diese Formel legt auch nahe, dass wenn $\frac{d\vec r}{dt}=0$ dann wird die Formel für Macht $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$Dies bedeutet, dass wenn die Geschwindigkeit Null ist, dies nicht unbedingt bedeutet, dass die Leistung des Objekts auch Null ist!
Aber ich finde das nicht in meinem Schulbuch und ich kann mir kein Beispiel auf meinem Kopf vorstellen, wo diese Situation wahr ist.
Nach dem, was ich gehört und gelesen habe, ist die Leistung auch Null, wenn die Geschwindigkeit des Objekts Null ist.
Kann jemand bitte mein vermeintliches Missverständnis klären oder mir ein Beispiel für die Situation geben, in der dies geschieht?
Antworten
Die Arbeit einer Kraft ist nicht definiert durch $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. Arbeit wird stattdessen als Linienintegral über einem Pfad definiert (Ihre Gleichung weist lediglich eine Arbeit für eine Kraft und Position zu, die nicht mit dem übereinstimmt, was wir unter der Arbeit einer Kraft verstehen). Wir haben
$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$
Also wenn wir haben $P=\text dW/\text dt$ wir haben nur
$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$
Also gibt es keine $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$Begriff im Ausdruck für Macht. Dies funktioniert auch konzeptionell: Die Leistungsabgabe einer Kraft sollte nicht direkt von der Position des betreffenden Partikels (dh dem Ort des Ursprungs) abhängen.
Arbeit ist definiert als $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. Die Leistung P ist dW / dt =$\vec F \cdot \vec v$.
Ihre Beziehung zur Arbeit ist falsch, daher ist Ihre Beziehung zur Macht (in Ihrer Frage eingepackte Beziehung) nicht korrekt.
Wie andere bereits geantwortet haben, $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ ist eine Vereinfachung und funktioniert nur in einem speziellen Fall der Konstanten $\mathbf F$. Und Ihre Formeln auch.
Eine Möglichkeit, es physisch zu betrachten, besteht darin, zu erkennen, dass Arbeit keine Funktion der Position ist. Mathematisch beschreiben wir es normalerweise mit dem Konzept des ungenauen Differentials:
$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$
Diese Notation wird verwendet, um die Tatsache zu unterstreichen, dass Sie beide Seiten integrieren und dieselbe Nummer erhalten können, diese Formel jedoch möglicherweise nicht neu anordnen und tatsächlich (im Allgemeinen) nicht ausdrücken können $\mathbf F$ mit $W$.
Ein Beispiel für ein genaues Differential und was es Ihnen ermöglicht:
$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$
PS Es gibt einige Sonderfälle, in denen Sie schreiben können $\mathbf F = \nabla \, W$In diesen Fällen wird gesagt, dass $\mathbf F$ ist eine potentielle Kraft.
Wenn Sie Derivate nehmen, ist es von entscheidender Bedeutung, dass Sie genau wissen, was von was funktioniert.
Bei der Definition der Arbeit ist die Kraft eine Funktion der Position, nicht der Zeit. Dies bedeutet, dass Sie sich zwar in einem zeitlich variierenden Kraftfeld bewegen können, es jedoch auf die Kraft ankommt, die Sie bei jedem Schritt auf Ihrem Weg messen, unabhängig davon, wie diese Kraft in der Vergangenheit war oder in der Zukunft sein wird.
Die anderen Antworten diskutieren seltsame Dinge wie Integrale und Differentiale. Diese Antwort versucht, das OP dort zu treffen, wo sie sich befindet: Sie richtet sich an das in der Frage verwendete mathematische Niveau und beginnt mit der Formel$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
Vermutlich ist der Grund , warum Sie mit dieser Formel gestartet ist , dass Sie tat es in Ihrem High - School - Lehrbuch finden und wurde in der Schule gelehrt wird . Das liegt daran, dass die Formel richtig ist, im Gegensatz zu einigen anderen Antworten. Sie müssen jedoch zwei Dinge verstehen, um es richtig anzuwenden:
- Es benötigt $\vec{F}$ konstant sein.
- Es benötigt $\vec{r}$die Änderung der Position sein, während das Objekt der Kraft ausgesetzt ist$\vec{F}$. Dies wäre besser geschrieben als$\Delta \vec{r}$. [1]
Schauen wir uns nun Ihr Problem an:
wenn $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ dann wird die Formel für Macht $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$Dies bedeutet, dass wenn die Geschwindigkeit Null ist, dies nicht unbedingt bedeutet, dass die Leistung des Objekts ebenfalls Null ist
Diese Aussage berücksichtigt nicht die beiden oben diskutierten Dinge:
- Das erkennt es nicht $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
- Das erkennt es nicht $\vec{r}$, was wirklich ist $\Delta \vec{r}$bedeutet eigentlich nichts, wenn die Geschwindigkeit Null ist. ( Um diesen Punkt zu richtig adressiert, wir tun müssen Integrale - die anderen Antworten sehen.)
[1] Für diejenigen, die sich mit Elektrizität auskennen, ist dies so, wie die Leute oft schreiben $V$ wenn sie wirklich meinen $\Delta V$.