Maximale Dichte eines Satzes ohne festes Muster
Betrachten Sie eine endliche Menge $S$ von nichtnegativen ganzen Zahlen.
Was ist die maximale natürliche Dichte einer unendlichen Teilmenge von $\mathbb{Z}$ die keine Übersetzung von enthält $S$?
Das wird natürlich davon abhängen $S$, aber vielleicht gibt es einen einfachen Algorithmus oder eine Charakterisierung. Ich interessiere mich auch für die gleiche Frage in$\mathbb{Z}^k$.
Wurden die oben genannten Fragen in irgendeiner Form untersucht? Ich habe keine Suchanfrage gefunden, die etwas zurückgibt.
Antworten
Die Frage ist gleichbedeutend mit der Ermittlung der Mindestdichte einer Abdeckung von $\mathbb{Z}$ durch Übersetzungen von $-S$. Dieses Problem wurde für die ganzen Zahlen und auch für andere Gruppen untersucht; siehe zum Beispiel
Wolfgang M. Schmidt und David M. Tuller, Abdecken und Einpacken $\mathbb{Z}^n$ und $\mathbb{R}^n$, http://dx.doi.org/10.1007%2Fs00605-009-0099-x
Béla Bollobás, Svante Janson und Oliver Riordan, Über das Cover durch Übersetzungen eines Sets, https://doi.org/10.1002/rsa.20346