Nachweis der Existenz einer Lösung für ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$

Aug 15 2020

Lassen $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ zweimal differenzierbar sein mit $f'' > 0$, und lass $u_- > u_+$seien reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass es eine Lösung gibt$\varphi(x)$ zu folgender Differentialgleichung: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ so dass $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, und wo $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.


Mein erster Versuch ist zu beobachten, dass dieses DE gut in Folgendes integriert werden kann: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Es reicht also aus, stattdessen die Existenz einer Lösung für diese DE zu zeigen, bei der wir frei wählen können $C$. Ich habe versucht, RHS zu LHS zu bringen, was Folgendes ergibt:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ wo $D \in \Bbb{R}$. Wenn wir also definieren:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ und unter der Annahme, dass $g$ ist also invertierbar $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ wäre eine lösung zu $(2)$. Es gibt jedoch einige Probleme bei diesem Ansatz, die wir angehen müssen:

  1. Das Integral macht keinen Sinn, wenn $f(\varphi) - s\varphi + C$ verschwindet irgendwann in $\Bbb{R}$. Da können wir frei wählen$C$, wenn wir das zeigen können $f(\varphi) - s\varphi$ ist entweder von oben oder von unten begrenzt, dann eine solche Wahl von $C$wird existieren. Ich vermute, wir können die Konvexität und die Definition von verwenden$s$ um dies zu beweisen, aber meine Versuche sind bisher vergeblich.
  2. Sollte das Integral Sinn machen, ist ein weiteres Problem, wenn $g$ist invertierbar. Dies sollte jedoch kein Problem wie bei FTOC sein:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ Wenn also der Nenner nicht verschwindet, $g'$ ist kontinuierlich und muss daher streng positiv oder negativ sein $g$ ist streng monoton, also invertierbar.
  3. Das größte Problem hierbei ist, dass diese Definition die Anforderung von nicht garantiert $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. Ich habe versucht, das Integral so zu manipulieren, dass es diesem Zustand entspricht, aber bisher ohne Erfolg.

Ich habe auch andere Ansätze ausprobiert, beispielsweise die Verwendung von Picards Iteration, aber da dieses Problem nicht wirklich ein IVP ist, waren sie nicht erfolgreich.

Jede Hilfe wird geschätzt.

Antworten

4 EditPiAf Aug 17 2020 at 15:58

Verwendung der Grenzwerte bei $\pm\infty$, wir finden $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$Siehe diese Übung in Evans PDE. Die strenge Konvexität von$\varphi\mapsto \varphi'$ folgt aus der strengen Konvexität $f''>0$ von $f$. Diese Eigenschaft ergibt$\varphi' < 0$ zum $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Deshalb,$\varphi$ ist eine sanft abnehmende Funktion, die ab abnimmt $u_-$ zu $u_+$. Untersuchung der Stabilität des Gleichgewichts$\varphi = u_\pm$berechnen wir das Vorzeichen der Ableitung $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ im Gleichgewicht, das bei negativ ist $\varphi = u_+$ und positiv bei $\varphi = u_-$aufgrund strenger Konvexität. Deshalb,$u_+$ ist ein attraktives Gleichgewicht und $u_-$ist ein abstoßendes Gleichgewicht. Da die rhs. der obigen Differentialgleichung ist nicht singulär und besitzt keine zusätzlichen Wurzeln, jede begrenzte Lösung verbindet notwendigerweise beide Werte$u_\pm$ durch eine sanft abnehmende Funktion $\varphi$. Der Integrand in$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ ist an den Grenzen einzigartig $\varphi = u_\pm$. Die Konvergenz dieses falschen Integrals ergibt sich aus seinem asymptotischen Verhalten an den Grenzen.