niedrigdimensionale Verteiler durch Kleben der Grenze einer Kugel
Denken Sie daran, dass eine Möglichkeit, geschlossene 2-Verteiler zu zeichnen, darin besteht, eine Scheibe zu nehmen $D^2$nehmen Sie eine zelluläre Zersetzung von $\partial D^2$Koppeln Sie die Eckpunkte in dieser zellulären Zerlegung so, dass die Paarung die Kanten beibehält, und nehmen Sie dann $D$ zusammen mit diesem Quotienten der Grenze.
Wir können dies auch in anderen Dimensionen tun, zum Beispiel in Dimension 3, jeder geschlossene 3-Verteiler kann durch ein ähnliches Verfahren erhalten werden, wenn wir nehmen $B^3$nehmen Sie eine zelluläre Zersetzung von $\partial B^3$Koppeln Sie die Eckpunkte dieser zellulären Zerlegung so, dass bei der Paarung Kanten und Flächen erhalten bleiben, und betrachten Sie dann den Quotienten von $B^3$ durch diese Paarung.
Threlfall und Seifert haben dies für die Poincaré-Homologie getan (siehe zum Beispiel hier - die aufgrund von Kreines auch eine andere solche Beschreibung enthält). In der Tat nehmen sie die Zellulation von$\partial B^3$das Dodekaeder sein. Gibt es eine vollständige (vermutlich eher kurze) Liste aller 3-Mannigfaltigkeiten, die so erhalten wurden, dass die Zellulation ein platonischer Feststoff ist?$T^3$, $\mathbb{R}P^3$und der Seifert-Weber-Raum sind weitere Beispiele, die mir in den Sinn kommen. Ich würde vermuten, dass die Poincaré-Homologie-Sphäre vielleicht die einzige Homologie-Sphäre auf dieser Liste ist. Ganz allgemein möchte ich eine Liste der 3-Mannigfaltigkeiten durchsehen, die auf diese Weise mit einfachen Zellulierungen auftreten.
Dies kann auch auf ähnliche Weise in Dimension 4 erfolgen, um alle glatt geschlossenen 4-Verteiler zu erzeugen. Gibt es einige schöne Bilder / Beispiele dafür, die irgendwo ausgeführt werden? Ich würde gerne solche Bilder von sehen$S^2 \times S^2, T^4, \mathbb{C}P^2,...$
Antworten
Diese geschlossenen orientierbaren 3-Verteiler, die durch Kleben von Flächen der platonischen Feststoffe erhalten wurden, wurden von Everitt klassifiziert .
Dies gilt für reguläre Polyeder mit gleichen Diederwinkeln, und das Kleben erfolgt geometrisch. Es ist jedoch auch möglich, das Kleben topologisch durchzuführen, und für dieses Problem habe ich nur eine teilweise Antwort. Es gibt 3 geschlossene orientierbare 3-Verteiler, die durch Kleben von Flächen des Tetraeders erhalten werden. Sie sind$S^3$, $L(4,1)$, und $L(5,2)$. Explizite Klebstoffe sind in Abbildung 2 dieses Papiers von Jaco und Rubinstein zu sehen .
Es gibt 17 geschlossene orientierbare 3-Verteiler, die durch Kleben von Flächen des Oktaeders erhalten werden, von denen 13 Primzahlen sind. Sie sind in Satz 4.2 dieses Papiers von Heard, Pervova und Petronio aufgeführt .
Vermutlich wurden die aus dem Würfel erhaltenen geschlossenen orientierbaren 3-Verteiler aufgezählt, aber ich kenne keine Referenz. Sie beinhalten$\mathbb{R}P^3$, der 3-Torus und mindestens 2 der anderen geschlossenen orientierbaren euklidischen 3-Mannigfaltigkeiten. Ich stelle mir vor, dass es viele 3-Mannigfaltigkeiten gibt, die aus dem Dodekaeder und dem Ikosaeder gewonnen wurden, aber ich bezweifle, dass jemand sie alle aufgezählt hat.
Was 4-Mannigfaltigkeiten betrifft, überlasse ich dies einer anderen Person, außer zu beachten, dass es keine 4-Mannigfaltigkeiten gibt, die von einem einzelnen Pentachoron (4-Simplex) erhalten werden, da es 5 Tetraeder in seiner Grenze hat und dies eine Parität verursacht Problem.