Notwendige (und ausreichende) Bedingungen, damit das folgende Matrixprodukt symmetrisch positiv definit ist?

Aug 16 2020

Repariere einige $n\times n$ symmetrische positive definitive Matrix $A$. Betrachten Sie das folgende Matrixprodukt:

$$B = AC$$

wo $C$ ist eine willkürliche $n\times n$Matrix. Gegeben$A$Ich würde gerne wissen, ob auf allen quadratischen Matrizen notwendige und ausreichende Bedingungen bekannt sind $C$ so dass die resultierende Matrix $B$ist auch symmetrisch positiv definitiv? Ich bin mehr daran interessiert, (wenn möglich) die notwendigen Bedingungen zu kennen.

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Ich beschäftige mich nur mit echten Matrizen.

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2 ChrisRamsey Aug 16 2020 at 08:22

Wenn $C$ ist eine positive bestimmte reale Matrix, mit der pendelt $A$ dann $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$Das ist definitiv positiv. Dies ist also sicherlich eine ausreichende Bedingung.

Es ist jedoch alles andere als notwendig. Berücksichtige das$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

Ich bin nicht davon überzeugt, dass es einen schönen Zustand geben wird, der solche vollständig beschreibt $C$.

Eine notwendige Bedingung ist das $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Wenn zusätzlich $C$ ist symmetrisch dann pendelt es mit $A$ und dann $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ was impliziert, dass $C$ ist positiv definitiv da $A^{-1}$ ist auch positiv.

Kaum eine vollständige Antwort, aber das ist alles, was ich jetzt habe.