Nyquist-Rauschen und thermisches Gleichgewicht

Question

Es seien zwei identische konzentrierte Elementwiderstände gegeben $R_1=R_2$ deren Wärmekapazitäten sind ebenfalls gleich und gegeben $C_1=C_2$. Wir gehen davon aus, dass die Widerstände an Thermostaten angebracht sind, einer bei Temperatur$T_1$ und der andere bei Temperatur $T_2$ aber $T_1 \ne T_2$. Trennen Sie nun die Widerstände von ihren jeweiligen Thermostaten und verbinden Sie die Widerstände mit einer Übertragungsleitung, die einen sehr geringen Verlust aufweist (idealerweise verlustfrei) und deren Metallleiter auch eine sehr geringe Wärmeleitfähigkeit aufweist (idealerweise Null). Ich weiß, dass dies ein Widerspruch nach Wiedemann-Franz ist, nehme ihn aber aus Gründen der Argumentation an. Ich gehe davon aus, dass aufgrund des Nyquist-Rauschens, das von den Widerständen abgegeben wird, diese schließlich eine gemeinsame Temperatur erreichen und da wir gleiche Wärmekapazitäten annehmen,$C_1=C_2$wird die gemeinsame Temperatur sein $(T_1+T_2)/2$.

Jetzt irgendwo entlang der Übertragungsleitung, deren Wellenimpedanz ist $Z_0=R_1=R_2$ Wir platzieren einen idealen verlustfreien Blindfilter und / oder einen idealen Impedanztransformator ($I_2=I_1/N, V_2=NV_1$). Wie wird sich das System ausgleichen, wenn nicht alle Frequenzen am Filter vorbeiziehen dürfen (z. B. arbeitet der Transformator nicht?$f=0$)? Welche Gleichung beschreibt die Temperaturentwicklung jedes Widerstands, wenn Rauschwellen zwischen ihnen ausgetauscht werden?

Answer 1

Die an jedem Widerstand verfügbare thermische elektrische Leistung wird durch kTB angegeben, wobei k die Boltzmann-Konstante ist, T die Temperatur in Kelvin ist und B die Bandbreite in Hertz ist, durch die das Rauschen beobachtet wird. Der Strom fließt mit einer Rate k (T1-T2) B vom heißen Widerstand zum kalten Widerstand. Das Ergebnis ist eine exponentielle Konvergenz bei einer Temperatur (T1 + T2) / 2 mit einer Zeitkonstante C / kB.
Die Frage ist natürlich, was für die Bandbreite B anzunehmen ist. Das thermische elektrische Rauschen ist bis zu einer Frequenz von kT / h ungefähr konstant, wobei h die Plancksche Konstante ist. Jedes elektrische Netzwerk hat eine viel geringere Bandbreite. Sie können B vernünftigerweise als Integral gegen Frequenz des Leistungsübertragungskoeffizienten zwischen den beiden Widerständen durch die Schaltung nehmen, die sie verbindet. Die Einzelheiten darüber, welche Frequenzen durchgelassen und welche gestoppt werden, sind unerheblich, da die Energie durch Elektronenwechselwirkungen usw. schnell ins Gleichgewicht kommt.