Problem bezüglich der Definition von Spinor

Nov 29 2020

Ich versuche ein einfaches Verständnis dafür aufzubauen, was ein Spinor ist. Dabei bin ich auf zwei verschiedene Definitionen von Spinor gestoßen:

Erste Definition:
Wenn$|\psi\rangle$ ist ein generischer Zustand eines Spins $1/2$ Teilchen dann kann es auf folgende Weise zersetzt werden: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ wo $|+\rangle,|-\rangle$ sind die Eigenzustände der dritten Komponente des Spins ($S_z$), und $c_+,c_-$sind komplexe Zahlen. Wir können dies auch schreiben als: $$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$ und in dieser Form schreiben wir normalerweise lieber $u$ anstelle von $|\psi\rangle$. Dieser 2D-Vektor, der den Zustand des Partikels darstellt, wird als Spinor bezeichnet .

Zweite Definition:
Gegeben ein Spinpartikel$1/2$ Wir können seine Wellenfunktion (aus irgendeinem Grund) folgendermaßen schreiben: $$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$ Die auf diese Weise geschriebene Wellenfunktion des Teilchens wird als Spinor bezeichnet .

Ich suche eine Brücke zwischen diesen beiden Definitionen sowie einen Weg, um das hässliche "aus irgendeinem Grund" aus der zweiten Aussage zu entfernen. Diesbezüglich: In meinen Vorlesungsunterlagen ist Folgendes enthalten: $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ Dieser Schritt ist in Ordnung, da es sich lediglich um eine Anwendung des Identitätsoperators handelt, aber dann: $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ aber wenn wir (1) für selbstverständlich halten, dann haben wir:

$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$

schon seit $u_{s_z}$ ist in der Tat der 2D-Vektor, der der Eigenzustand des Spinoperators ist.

Aber ich habe ein großes Problem in Bezug auf Gleichung (1): Ich verstehe nicht, wie wir beweisen können, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Warum gibt es$Y(\theta , \phi)$? (bei dem die$Y$ sind natürlich die sphärischen Harmonischen, also die Eigenfunktionen des Drehimpulses) Was ist $c^{s_z}_{l,m}(r)$ und warum ist es so $r$abhängig? Warum es erscheint$u_{s_z}$?

Antworten

6 JEB Nov 29 2020 at 21:04

Die 1. Gleichung: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ ist die generische Form für jeden reinen Zustand in einem zweistufigen System. Der Raum aller normierten Paare von ($c_+$, $c_-$) werden die Blochkugel genannt.

Da es für jedes zweistufige System gilt, wird die physikalische Natur eines Spinors nicht besonders gut aufgeklärt. Tatsächlich kann dies in vielen Unterrichtsszenarien zu Verwirrung führen. Dies liegt an den Begriffen "Spin-up" und "Spin-down". Dies führt den Uneingeweihten zu dem Gedanken, dass der Spin entweder ausgerichtet oder gegen die Größe anti-ausgerichtet ist$\frac 1 2$ (in Einheiten von $\hbar$), das ist nicht der Fall.

Ein Spin 1/2 Teilchen hat einen Drehimpuls von

$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$

und die Eigenzustände erlauben es, nur die Projektion auf eine einzelne Achse zu kennen, das heißt $\frac 1 2$. Das heißt, dass in einem$S_z$ Eigenzustand gibt es noch:

$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$

Einheiten des Drehimpulses, die gleichmäßig in der verteilt sind $x-y$Flugzeug. Diese Tatsache, zusammen mit den Kommutierungsbeziehungen:

$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$

und die Fähigkeit, den Spin auf jeder Achse zu quantisieren, sind entscheidend für das Verständnis der Spinoren.

Kurz gesagt, Sie können die Koeffizienten wie folgt schreiben:

$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$

und, während jedes Paar von ($\theta,\phi$) stellt eine Überlagerung in der ursprünglichen Basis dar, es ist ein reiner Spin-up-Zustand, wenn es entlang einer Achse quantisiert wird, die in die ($\theta, \phi$) Richtung.

Das ist also der Spin-Teil einer Wellenfunktion. Wenn Sie die Spinwellenfunktion als Spaltenvektor (Ihre 2. Gleichungen) schreiben und mit einer faktorisierten räumlichen Wellenfunktion kombinieren, erhalten Sie: $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ Das ist ein Teilchen mit einer räumlichen Wellenfunktion und einem nicht verwickelten Spin. Im allgemeinsten Fall können die Raum- und Spin-Komponenten verwickelt werden, und dies erfordert Ihre 3. Gleichungen:

$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$

Dies ist für Systeme wie das Stern-Gerlach-Experiment erforderlich.

Wenn wir nur eine räumliche Komponente der Wellenfunktion betrachten, z. $\psi_+(\vec x)$, es ist hier als Funktion eines Vektors geschrieben, $\vec x$. Dies kann in kartesischen Koordinaten erfolgen:

$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$

andere Koordinaten oder was im Allgemeinen am nützlichsten ist, wenn der Drehimpuls erhalten bleibt: sphärische Koordinaten. In diesem Fall wird der Winkelteil gemäß dieser Standardprojektion in Ihrer 5. Gleichung in sphärischen Harmonischen erfasst:

$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$

Was wir aus dieser Gleichung sehen, ist, dass der Drehimpuls der Umlaufbahn ($(l,m)$) an jeden Spinzustand koppeln (gemäß den üblichen Regeln der Drehimpulsaddition). Beachten Sie, dass Eigenzustände der gesamten Drehimpulsquantenzahlen ($J^2, J_z$) anders mischen $(l, m)$ mit Spin Up und Spin Down, wie von der erfasst $c^{\pm}_{lm}$. Dies ist Standardmaterial von Clebsch-Gordan, z.

$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$

Das stellt also die Spin- und Winkelkoordinaten so dar und verschränkt sie so, dass die gesamten Drehimpulsquantenzahlen gut sind.

Wenn man dies beispielsweise im Wasserstoffatom sieht, wird die Radialwellenfunktion vollständig herausgerechnet. Ihre endgültige Gleichung erlaubt jedoch eine radiale Abhängigkeit in der$c^{\pm}_{lm}(r)$. Dies führt zu einer räumlichen Verschränkung zwischen Spin und der Raumkoordinate in radialer Richtung. (Ich kann mir kein System vorstellen, bei dem dies auftritt ... da bei Verwendung von sphärischen Harmonischen das Problem in sphärischen Koordinaten trennbar sein sollte). Trotzdem ist es ist die allgemeinste spinor Wellenfunktion in sphärischen Koordinaten.

Nachtrag: Beachten Sie, dass die $\theta$ und $\phi$ Die Abhängigkeit von der RHS von (1) steht in direktem Zusammenhang mit $\vec x$auf der LHS. Hier gehe ich hin$\vec r$ für einen 3D-Positionsvektor als $\vec x$ wird Verwirrung stiften:

In kartesischen Koordinaten $(x, y, z)$ und die kartesische Basis:

$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$

das heißt, in sphärischen Koordinaten $(r, \theta, \phi)$ und die kartesische Basis:

$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$

Jetzt können wir von den kartesischen Basisvektoren zu sphärischen Basisvektoren wechseln (sphärische Basisvektoren sind die 3 Eigenvektoren der Rotationen um die z-Achse, sie sind nicht die sphärisch koordinierten Basisvektoren ($\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$und ihr Verständnis ist sehr hilfreich beim Verständnis von Spin- und Tensoroperatoren usw.):

$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$

die neu angeordnet werden kann:

$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$

Beachten Sie, dass die Winkelkoeffizienten die sind $l=1$ sphärische Harmonische:

$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$

Diese Formel kann gewöhnungsbedürftig sein. In der sphärischen Basis, wobei die sphärischen Harmonischen sind die Koordinaten. Es ist seltsam, wie kann eine Funktion eine Koordinate sein? Nun, sieh dir das an$Y_1^0(\theta,\phi)$. Auf der Einheitskugel, es ist $z$. Gut$z$ ist eine Funktion (es ist ein Polynom), und so sind $x$ und $y$. Wir verwenden also Polynomkoeffizienten in der geraden kartesischen Wiederholung. Wir betrachten sie normalerweise nicht als solche, sondern als beschriftete Zahlen.