Problem über fast überall Konvergenz in der Maßtheorie

Dec 04 2020

Ich habe Probleme mit dem folgenden Problem

Lassen $(X, \mathcal{F}, \mu)$ ein Messraum wo $\mu (X)<\infty.$ Lassen $f,f_n:X \to \mathbb{C}$messbar sein. einstellen$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ wo $a_n>0$ und $a_n \to 0$. Zeigen Sie das, wenn$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ dann $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

Ich habe viel versucht, dieses Problem. Zum Beispiel habe ich versucht, das zu zeigen$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ für alle $\varepsilon>0$ unter Verwendung von Fakten als $\mu(A_n) \to 0$ (weil die Serie konvergent ist) und sogar das zusammenfassen $(a_n)$könnte streng abnehmend genommen werden. Bei meinem "näheren" Versuch habe ich gezeigt, dass jeder$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ ist in unendlich vielen Sets enthalten $A_n$. Aber am Ende hat es nicht funktioniert.

Bei jedem Versuch, den ich unternahm, dachte ich: "Ich bin der Lösung sehr, sehr nahe" ... aber etwas schlug fehl.

Könnten Sie mir bitte bei der Lösung dieses Problems helfen?

Antworten

4 WhoKnowsWho Dec 04 2020 at 08:35

Beobachten Sie zuerst, dass das Set wo $f_n$ konvergiert nicht zu $f$ ist messbar und kann geschrieben werden als $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

Beachten Sie nun das Anzeigen $f_n\to f$ Fast überall ist gleichbedeutend damit, das zu zeigen $A$ hat Maß $0.$ Dazu beobachten wir zunächst das $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

Schon seit $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ ist endlich, durch Auswahl $k$ groß können wir machen $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$beliebig klein. Es folgt dem$\mu(A)=0.$