Random-Walk-Wahrscheinlichkeit - Tennismatch

Question

Sie und ein Gegner spielen Tennis - zuerst zu bekommen$2$gewinnt in Folge gewinnt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gewinnen, ist$0.6$. Die Wahrscheinlichkeit, dass er gewinnt, ist$0.4$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie das Spiel gewinnen?

Ich denke, dies kann als Markov-Kette mit 5 Zuständen (2 Verluste, 1 Verlust, 0 Netto, 1 Gewinn, 2 Gewinne) modelliert werden. Daher denke ich, ich könnte einige Gleichungen aufschreiben, um dies zu lösen. Kann mir jemand sagen, ob das Sinn macht/falsch ist?

P (du gewinnst auf Anhieb)$= (0.6)(0.6) = 0.36$

P (er gewinnt auf Anhieb)$ = (0.4)(0.4) = 0.16$

P (du gewinnst)$ = \frac{0.36}{0.36+0.16}$

Answer 1

Antworten:

Fall 1: Sie gewinnen zwei Spiele hintereinander$ = 0.36$

Fall 2: Sie gewinnen ein Spiel und Ihr Gegner verliert ein Spiel$ = 0.24$

Fall 3: Sie verlieren ein Spiel und Ihr Gegner gewinnt ein Spiel$ = 0.24$

Fall 4: Sie verlieren zwei aufeinanderfolgende Spiele und Ihr Gegner gewinnt$ = 0.16$

In beiden Fällen 2 und 3 kann das Spiel als Unentschieden und zurück auf Feld eins angesehen werden. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich nicht um einen Gewinner handelt, die Summe aus Fall 2 und 3$= 0.48$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gewinnen$= 0.36 + 0.48*(.36)+0.48^2*(.36) + \cdots \infty$

$= 0.36\frac{1}{(1-0.48)} = \frac{9}{13}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Gegner gewinnt$=0.16 + 0.48*(.16)+0.48^2*(.16) + \cdots \infty$

$= 0.16\frac{1}{(1-.48)} = \frac{4}{13}$

Dies ist eine Möglichkeit, das Spiel zu vereinfachen und die Lösung zu finden, es sei denn, Sie kennen die Lösungsmethode der Markov-Kette.