Raumkrümmung in der Nähe eines Schwarzen Lochs

Aug 16 2020

(Strenge Theoretiker müssen meine Formulierung zu dieser Frage verzeihen, ich bin neu in GR und der größte Teil meiner Physikausbildung ist in Quantenmechanik)

In der nichteuklidischen Geometrie kann man von einem sphärischen Raum wie von einem intrinsisch gekrümmten Raum sprechen. In einem sphärischen Raum konvergieren „parallele“ Linien zu einem Punkt. Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass "die Topologie des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs im Gleichgewicht immer sphärisch ist."

Ist es eine genaue Aussage zu behaupten, dass der Raum um ein Schwarzes Loch kugelförmig ist und sich die Konvergenz von „parallelen Linien“ irgendwann innerhalb des Ereignishorizonts trifft? Wenn dies nicht der Fall ist, können wir den Raum um eine Singularität sogar als hyperbolisch, sphärisch oder etwas anderes klassifizieren?

Link unten:

https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon

Antworten

3 RickyTensor Aug 16 2020 at 07:55

Ich denke nicht, dass es richtig wäre, die Raumzeit in der Nähe eines Schwarzen Lochs als "sphärisch" zu beschreiben. Zum einen ändert sich die Krümmung des Raums abhängig davon, wie nahe Sie dem Schwarzen Loch sind. Für eine Kugel ist die Krümmung eine Konstante und variiert nicht mit dem Ort. Außerdem benötigen Sie mehr als eine einzelne reelle Zahl, um die Krümmung von Raumzeiten mit Dimensionen über 2 anzugeben. (Dies liegt daran, dass Sie möglicherweise einen Raum haben, in dem sich die Winkel eines in eine Richtung ausgerichteten Dreiecks auf weniger als 180 Grad summieren Die Winkel eines in eine andere Richtung ausgerichteten Dreiecks summieren sich jedoch auf mehr als 180 Grad.) Auch das Gravitationsfeld des Schwarzen Lochs hängt zu einem großen Teil von der Tatsache ab, dass die Raumzeit gekrümmt ist, nicht nur von der räumlichen Krümmung.

Sie könnten die Krümmung der Raumzeit wahrscheinlich immer noch anhand der Vorzeichen verschiedener Komponenten des Krümmungstensors klassifizieren, aber die Klassifizierung wäre komplizierter als sphärisch vs. flach vs. hyperbolisch.

10 ChiralAnomaly Aug 16 2020 at 08:54

Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass "die Topologie des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs im Gleichgewicht immer sphärisch ist."

Diese Antwort verdeutlicht, was diese Aussage bedeutet. Dies bedeutet, dass wenn wir mit einem Schwarzen Loch in der 4d-Raumzeit beginnen und den Horizont als eine 3D-Mannigfaltigkeit betrachten, diese Mannigfaltigkeit die Topologie hat$S^2\times \mathbb{R}$, wo $S^2$ ist eine Zwei-Kugel (die Oberfläche einer Kugel) und $\mathbb{R}$ist eine Linie. Es ist eine Aussage über die Topologie, nicht über die Geometrie. Insbesondere sagt die Aussage (fast) nichts über Geodäten (oder parallele Linien) aus.

Übrigens ist die Aussage spezifisch für Schwarze Löcher in 4d Raumzeit. In der 5d-Raumzeit kann ein Schwarzes Loch einen Ereignishorizont mit nicht sphärischer Topologie haben.

Beispiel

Betrachten Sie die Schwarzschild-Metrik in 4d Raumzeit. Das Linienelement für raumartige Weltlinien ist$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ wo $A(r)$geht am Horizont auf Null. Die Notation$d\Omega^2$ ist eine Abkürzung für den sphärisch koordinierten Teil: ohne den Faktor $A$, die Kombination ${dr^2}+r^2d\Omega^2$wäre das Linienelement des flachen euklidischen 3D-Raums in sphärischen Koordinaten. Beliebiger fester Wert von$r$definiert eine 3D-Untervielfalt der 4d-Raumzeit. Wenn$A(r)\neq 0$ist die induzierte Metrik auf diesem Verteiler $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ wo jetzt $r$ und $A(r)$sind Konstanten. Dies ist die Standardmetrik für$S^2\times\mathbb{R}$, wo der Faktor $\mathbb{R}$ berücksichtigt die zusätzliche Koordinate $t$. Am Horizont haben wir$A(r)=0$und Gleichung (1) macht dort keinen Sinn. Der glatte Verteiler macht dort immer noch Sinn, die Komponenten der Metrik jedoch nicht. Wir können dies auf zwei Arten angehen:

  • Nehmen $r$willkürlich nahe an diesem Wert sein. Das ist gut genug, um zu sehen, wie die Topologie der$A(r)=0$Verteiler wird sein. Gleichung (1) besagt, dass die$dt^2$verschwindet am Horizont, was der Tatsache entspricht, dass der Horizont eine Null- Hyperfläche ist: Verschiebungen in der$t$-Richtung sind lichtähnlich (haben eine Länge von Null).

  • Noch besser ist, dass wir ein anderes Koordinatensystem verwenden können, damit die 4d-Metrik am Horizont gut definiert ist. In Kerr-Schild-Koordinaten hat die Schwarzschild-Metrik die Form$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ wo $V(r)$ ist überall gut definiert, außer bei $r=0$. Der Horizont entspricht$V(r)=1$, bei dem die $dt^2$Begriff verschwindet. Rahmen$r$ gleich diesem speziellen Wert ergibt sich die induzierte Metrik $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Dies ist die Standardmetrik für $S^2$, aber die Topologie ist tatsächlich $S^2\times\mathbb{R}$, bei dem die $\mathbb{R}$ Faktor erklärt die $t$-Koordinate. Es gibt kein$dt^2$ Term in (4), weil der Horizont eine Null-Hyperfläche ist: Verschiebungen in der $t$-Richtung haben eine Länge von Null. Dies ist die gleiche Schlussfolgerung, zu der wir zuvor gelangt sind, aber jetzt haben wir sie direkter erreicht, da die Metrik (3) am Horizont gut definiert ist.