Referenz für den Satz der Homotopietheorie angefordert

Dec 28 2020

Ich bin auf diesen Beitrag gestoßen : Homotopie-Gruppen mit kompakten topologischen Mannigfaltigkeiten, die genau das Ergebnis angeben, das ich für einen Satz benötige, an dem ich arbeite. Ich würde jedoch eine Referenz benötigen, da das Publikum nicht sehr gut mit der Homotopietheorie vertraut sein muss.

Könnte jemand vorschlagen, wo ich das Ergebnis finden kann:

Satz: Jeder geschlossene, glatt verbundene$d$-Vielfalt $M$ hat eine kontinuierliche und nicht nullhomotopische Karte $f: S^{d'} \rightarrow M$ für eine Sphäre $S^{d'}$ mit $1 \leq d' \leq \dim(M)$.

Mit anderen Worten, wenn $M$ Ist ein geschlossener und verbundener glatter Verteiler dann gibt es einen nicht trivialen $\pi_{d'}(M)$ für einige $d'\leq \dim(M)$.

Antworten

4 MaximeRamzi Dec 28 2020 at 01:08

Dies ist keine Referenz, sondern ein kurzer Beweis:

wenn nicht, dann mit $d'=1$ wir sehen das $M$ müsste einfach verbunden werden.

Insbesondere wenn alle Homologiegruppen verschwinden, dann $M$ist vertraglich. Aber die Homologie gruppiert sich in Dimension$> \dim(M)$ immer verschwinden, und die Hypothese impliziert (von Hurewicz), dass die Homologie in der Dimension gruppiert $\leq \dim(M)$ verschwinden auch.

Dies impliziert das $M$ ist vertraglich, was durch Poincaré-Dualität unmöglich ist (entweder mod $2$oder ganzheitlich, weil $M$ ist einfach verbunden)

Einfacher ausgedrückt: $M$ ist mod $2$-orientierbar, also muss es nichttrivial mod haben $2$-Kohomologie, dies muss in der Dimension sein $\leq \dim(M)$, aber die Hypothese impliziert, dass dies nach dem Hurewciz-Theorem nicht der Fall ist.