Regelmäßige Darstellungen von Galois-Gruppen

Question

Vermuten$\mathcal{G}_k$ist die absolute Galoisgruppe eines Zahlenkörpers$k$.

$\mathcal{G}_k$ist eine topologische Gruppe mit profiniter Topologie. Wie lässt sich die Theorie der harmonischen Analyse regulärer Darstellungen lokal kompakter Gruppen darauf anwenden? Welche Funktion platzt auf$\mathcal{G}_k$ist es sinnvoll, darüber nachzudenken; wie (links oder rechts) regelmäßige Darstellungen von$\mathcal{G}_k$auf ihnen zerfallen in Irreduzibles; welche Irreduziblen auftreten; und was ist das Analogon zum Plancherel-Maß?

Answer 1

Die absolute Galois-Gruppe (jedes Körpers) ist nicht nur lokal kompakt, sie ist kompakt. Dies macht die harmonische Analyse davon vollständig durch die Peter-Well-Theorie gelöst.

Insbesondere ist die reguläre Darstellung die direkte Hilbert-Summe jeder irreduziblen Darstellung, die alle eine endliche Dimension haben, wobei jede von ihnen eine Multiplizität aufweist, die ihrer Dimension entspricht.